C思維：浮點數與整數和浮點數表示形式

Question

在C語言（和許多其他語言）中使用整數時，除精度外，必須注意一個問題。 最好在除法之前將事物相乘並相加（從而產生更大的中間結果，只要它不會溢出）。

但是花車呢？ 那還成立嗎？ 還是以這樣一種方式來表示：最好將數量級相近的數量相除，而不是數量級較小的數量級？

Answer 1

浮點數/雙精度數和類似的浮點數表示法是針對保留有效數字 （也稱為“精度”），而不是固定的小數位數 ，例如定點數或整數運算。

最好避免組合數量，這些數量可能導致指數的隱式不足或溢出，即在浮點數范圍的極限處。

因此，應避免對數量相差很大（明顯地或由於具有相反符號的數量）進行加/減，並在可能的情況下重新安排，以避免這種眾所周知的精度下降途徑。

示例：最好重構/重新排序

small + big + small + big + small * big

如

(small+small+small) + big + big

因為小個體可能對大個體沒有影響，因此它們的貢獻可能會消失。

如果任何數量的低位存在任何“噪聲”或不精確度，明智的做法是知道有效位的丟失如何通過計算傳播。

Answer 2

使用整數：
只要沒有溢出， +,-,*始終是精確的。
通過除法，結果將被截斷，並且通常不等於數學答案。
ia,ib,ic ，在除ia*ib/ic與ia*(ib/ic)之前相乘更好，因為商是基於乘積ia*ib位數多於ib 。

帶浮點數：
問題是微妙的。 同樣，只要不發生上溢/下溢，順序或*,/序列所產生的影響將小於整數。 FP */-類似於添加/減去日志。 典型結果在數學上正確答案的0.5 ULP之內。

使用FP和+,-如果1）值的幅度相差較大或2）減去幾乎相等的值且先前計算中的誤差現在變為fa,fb,fc的結果可能與數學正確的結果有顯着差異。重大。

考慮二次方程：

double d = sqrt(b*b - 4*a/c);  // assume b*b - 4*a/c >= 0
double root1 = (-b + d)/(2*a);
double root2 = (-b - d)/(2*a);

與

double d = sqrt(b*b - 4*a/c);  // assume b*b - 4*a/c >= 0
double root1 = (b < 0) ? (-b + d)/(2*a)  :  (-b - d)/(2*a)
double root2 = c/(a*root1);  // assume a*root1 != 0

當一個根接近0且|b|時，第二根具有更好的root2精度結果|b| 接近d 。 這是因為b,d減法消除了許多有效位，從而使d的計算誤差變得顯着。

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Answer 3

（對於整數）總是最好在相除之前對它們進行相乘和相加（從而創建更大的中間結果，只要它不會溢出）。

仍然保持（對於浮動）嗎？

一般來說，答案是否定的

構造一個簡單的示例，其中在除法之前添加所有輸入會給您帶來巨大的舍入誤差。

假設您要添加10000000000值並將它們除以1000。進一步假定每個值均為1。因此，預期結果為10000000。

方法1但是，如果在除法之前添加所有值，則將獲得結果16777.216（對於32位浮點數）。 如您所見，它已經關閉了。

方法2那么在將每個值加到結果上之前，將每個值除以1000更好嗎？ 如果這樣做，您將得到結果32768.0（對於32位浮點數）。 如您所見，它幾乎也處於關閉狀態。

方法3但是，如果繼續添加值，直到臨時結果大於1000000，然后將臨時結果除以1000，然后將中間結果添加到最終結果中，然后重復該操作，直到添加總計10000000000的值，您將得到正確的結果。

因此，在處理浮點時，沒有簡單的“總是在除法前添加”或“總是在除法前添加”。 通常，將操作數保持在相似的大小通常是一個好主意。 這就是第三個示例所做的。