numpy：如何從矩陣向量構造向量矩陣

Question

我是 numpy 的新手，因此，對於 numpy，是否可以使用矩陣向量來獲取向量矩陣”，例如：

matrix1(  
[  
 [1, 2, 3],  
 [1, 2, 3],  
 [1, 2, 3]  
])

matrix2(  
[  
 [2, 4, 6],  
 [2, 4, 6],  
 [2, 4, 6]  
])

-->

matrix(  
[  
 [array('1 2'), array('2 4'), array('3 6')],  
 [array('1 2'), array('2 4'), array('3 6')],  
 [array('1 2'), array('2 4'), array('3 6')]  
])

我是 numpy 的新手，所以我不確定是否允許在 numpy 的矩陣中放入任何東西或只是數字。 而且從谷歌那里得到答案並不容易，比如“矩陣的向量和矩陣的向量”這樣的描述

Answer 1

numpy沒有與“矩陣”分開的“向量”概念。 它確實有不同的“矩陣”和“數組”概念，但大多數人完全避免使用矩陣表示。 如果使用數組，則“向量”、“矩陣”和“張量”的概念都包含在數組“形狀”屬性的一般概念下。

在這種世界觀中，向量和矩陣都是二維數組，僅通過它們的形狀來區分。 行向量是形狀為(1, n)的數組，而列向量是形狀為(n, 1)數組。 矩陣是形狀為(n, m)數組。 一維數組有時會表現得像向量，這取決於上下文，但通常你會發現除非你“升級”它們，否則你不會得到你想要的。

考慮到所有這些，這里有一個可能的答案來回答您的問題。 首先，我們創建一個一維數組：

>>> a1d = numpy.array([1, 2, 3])
>>> a1d
array([1, 2, 3])

現在我們重塑它以創建一個列向量。 這里的-1告訴numpy找出給定輸入的正確大小。

>>> vcol = a1d.reshape((-1, 1))
>>> vcol
array([[1],
       [2],
       [3]])

請注意開頭和結尾處的雙括號。 這是一個微妙的提示，表明這是一個二維數組，即使一維的大小僅為 1。

我們可以做同樣的事情，交換維度，得到一行。 再次注意雙括號。

>>> vrow = a1d.reshape((1, -1))
>>> vrow
array([[1, 2, 3]])

您可以看出這些是二維數組，因為一維數組的shape元組中只有一個值：

>>> a1d.shape
(3,)
>>> vcol.shape
(3, 1)
>>> vrow.shape
(1, 3)

要從列向量構建矩陣，我們可以使用hstack 。 還有很多其他方法可能更快，但這是一個很好的起點。 這里，請注意[vcol]不是一個numpy對象，而是一個普通的 python 列表，所以[vcol] * 3與[vcol, vcol, vcol]意思相同。

>>> mat = numpy.hstack([vcol] * 3)
>>> mat
array([[1, 1, 1],
       [2, 2, 2],
       [3, 3, 3]])

vstack從行向量中給了我們同樣的東西。

>>> mat2 = numpy.vstack([vrow] * 3)
>>> mat2
array([[1, 2, 3],
       [1, 2, 3],
       [1, 2, 3]])

“從矩陣向量構造向量矩陣”的任何其他解釋都不太可能在numpy生成您真正想要的東西！

既然你提到想要做線性代數，這里有幾個可能的操作。 這假設您使用的是最新版本的 python 來使用新的@運算符，它為數組的矩陣乘法提供了明確的內聯符號。 ¹

對於數組，乘法始終是按元素進行的。 但有時有廣播。 對於具有相同形狀的值，它是純元素乘法：

>>> vrow * vrow
array([[1, 4, 9]])
>>> vcol * vcol
array([[1],
       [4],
       [9]])

當值具有不同的形狀時，如果可能，它們會一起廣播以產生合理的結果：

>>> vrow * vcol
array([[1, 2, 3],
       [2, 4, 6],
       [3, 6, 9]])
>>> vcol * vrow
array([[1, 2, 3],
       [2, 4, 6],
       [3, 6, 9]])

廣播也以您期望的其他形狀的方式工作：

>>> vrow * mat
array([[1, 2, 3],
       [2, 4, 6],
       [3, 6, 9]])
>>> vcol * mat
array([[1, 1, 1],
       [4, 4, 4],
       [9, 9, 9]])

如果你想要一個點積，你必須使用@操作符：

>>> vrow @ vcol
array([[14]])

請注意，與*運算符不同，這不是對稱的：

>>> vcol @ vrow
array([[1, 2, 3],
       [2, 4, 6],
       [3, 6, 9]])

起初這可能有點令人困惑，因為這看起來與vrow * vcol相同，但不要被愚弄。 *無論參數順序如何，都會產生相同的結果。 最后，對於矩陣向量乘積：

>>> mat @ vcol
array([[ 6],
       [12],
       [18]])

再次觀察@和*之間的區別：

>>> mat * vcol
array([[1, 1, 1],
       [4, 4, 4],
       [9, 9, 9]])

_{1. 遺憾的是，這只存在於 Python 3.5。 如果您需要使用較早的版本，則所有相同的建議都適用，不同之處在於，您必須使用np.dot(a, b)而不是對a @ b使用內聯符號。 numpy的matrix類型覆蓋*以表現得像@ ... 但是你不能以相同的方式進行元素乘法或廣播！ 所以即使你有更早的版本，我也不建議使用matrix類型。}