Sympy：如何計算矩陣相對於矢量場的李導數

Question

我有一個系統（x'= f（x）+ g（x）u），這樣f(x) is f:R3->R3和g(x) is g:R3->R(3x2) 。 我的系統是

如您所見，它是一個MIMO非線性控制系統，我希望找到我的系統的可控性矩陣。 在這種情況下，可控性矩陣由下式表示
C = [g [f，g] [f，[f，g]] ..]，
其中[f，g]表示f和g之間的斜括號操作。 這就是我需要相對於矢量場計算矩陣的李導數的原因，反之亦然。 因為[f，g] = f dg / dx-g df / dx

在我的系統中，f是3x1，g是3x2，因為有兩個輸入可用。 我希望用Python計算上面的矩陣C. 我的系統是
f=sm.Matrix([[x1**2],[sin(x1)+x3**2],[cos(x3)+x1**2]])和
g=sm.Matrix([[cos(x1),0],[x1**2,x2],[0,0]]) 。

我的代碼是：

from sympy.diffgeom import *
from sympy import sqrt,sin,cos

M     = Manifold("M",3)
P     = Patch("P",M)

coord          = CoordSystem("coord",P,["x1","x2","x3"])
x1,x2,x3       = coord.coord_functions()
e_x1,e_x2,e_x3 = coord.base_vectors()

f      = x1**2*e_x1 + (sin(x1)+x3**2)*e_x2 + (cos(x3) + x1**2)*e_x3
g      = (cos(x1))*e_x1+(x1**2,x2)*e_x2 + 0*e_x3

#h1    = x1
#h2    = x2
#Lfh1  = LieDerivative(f,h1)
#Lfh2  = LieDerivative(f,h2)
#print(Lfh1)
#print(Lfh2)

Lfg    = LieDerivative(f,g)
print(Lfg)

為什么我的代碼沒有給我正確答案？

Answer 1

代碼中唯一的錯誤是由於用於多個輸入的元組。 對於Sympy.diffgeom中的LieDerivative，你需要一個正確定義的矢量場。

對於單輸入系統，你所使用的確切代碼沒有元組，因此，在這種情況下，例如，如果你有g = (cos(x1))*e_x1+x1**2*e_x2 + 0*e_x3

（即g（x）是3 x 1矩陣，只有第一列）。 然后，進行上述更改，即可獲得正確的Lie導數。

對於多輸入情況（如您的問題），您可以簡單地將兩列分成g1和g2，並按上述情況進行操作。 這有效，因為對於多輸入情況， 請參見此處的數學

其中g_1和g_2是兩列。 Lgh的最終結果是1 x 2矩陣，如果你有上面計算的兩個結果（Lg1h和Lg2h），你基本上可以得到。

代碼 -

from sympy.diffgeom import *
from sympy import sqrt,sin,cos
from sympy import *
M = Manifold("M",3)
P = Patch("P",M)

coord          = CoordSystem("coord",P,["x1","x2","x3"])
x1,x2,x3       = coord.coord_functions()
e_x1,e_x2,e_x3 = coord.base_vectors()

f  = x1**2*e_x1 + (sin(x1)+x3**2)*e_x2 + (cos(x3) + x1**2)*e_x3
g1 = (cos(x1))*e_x1+(x1**2)*e_x2 + 0*e_x3
g2 = 0*e_x1+ x2*e_x2 + 0*e_x3
h = x1

Lg1h = LieDerivative(g1,h)
Lg2h = LieDerivative(g2,h)
Lgh = [Lg1h, Lg2h]
print(Lgh)