合並兩個二進制最大堆，其中一個堆中的所有元素都大於另一個堆中的所有元素？

Question

我遇到了這個編程面試問題，但不確定我的答案是否正確。 我找不到這個問題的正確答案。 這是問題

令H1和H2為分別具有n1和n2個元素的兩個（二進制）最大堆。 如果H1中的每個元素都大於H2中的每個元素，請設計一種算法，將這兩個堆在O（n2）時間內合並為一個（二進制）最大堆（假設H1和H2都足夠大以容納n1 + n2元素）

因此，我在想，由於H1中的每個元素都大於H2中的每個元素，因此我們可以將合並的最大堆存儲在H1中。 因此，我們要做的就是簡單地從H2中獲取第一個元素，在H2數組中的位置0，然后將該元素插入H1中，追加到H1數組的末尾，使其成為H1中的葉子。 我們可以連續地對H2中的每個元素執行此操作。 我想一旦我們開始將H2中的元素作為子元素添加到H2元素中，那么我們將必須開始檢查該子元素是否小於父元素，如果不是，則交換它們。 我假設由於添加元素而不調用heapify，並且在必要時進行交換將給我們帶來O（n2）的復雜性。

那么，我的解決方案准確嗎？ 如果沒有任何幫助，將不勝感激。 請告訴我解決方案的任何部分不清楚，以便我澄清。

Answer 1

通常，不能僅將H2附加到H1上，因為正如注釋中指出的那樣，這樣做會產生無效的堆。 這種情況並不罕見。

例如，想象兩個最大堆：

h1 = [100]
h2 = [6,3,5,1,2,4]

    h1        h2

   100        6
            3   5
           1 2 4

如果僅將h2附加到h1，則會得到：

    100
  6    3
 5 1  2 4

這顯然是無效的，因為4是3的子代。

如果h1 = [100,98] ，則可能發生相同的事情：

       100
    99     6
   3  5  1   2
 4

您要做的是將h2附加到h1，然后運行一個簡短的build-heap ，重新排列h2中的項目以反映它們在堆中的新位置。 您已經知道從h2添加的所有項目都小於h1中的最小項目，因此您無需觸摸h1中的任何項目。

此和標准構建堆之間的唯一區別是開始位置和結束位置。 基本上，您從h2的中間開始，然后倒退到h2的開始。

h1_length = h1.length
h2_length = h2.length
h1.array.append(h2.array)  // copies items from h2 to h1
// rearrange h2 items
start = h1_length + (h2_length/2)
for (item = start; item > h1_length; --item)
{
    i = item
    // This assumes that the root of the heap is at 0.
    // If the root is at 1, then the left child is at i*2
    while (i*2+1 < h1.length)
    {
        // get the largest child of this item
        leftChildIndex = i*2+1
        rightChildIndex = leftChildIndex + 1
        largestChildIndex = leftChildIndex
        if (rightChildIndex < h1.length &&
            h1.array[rightChildIndex] > h1.array[leftChildIndex)
        {
            largestChildIndex = rightChildIndex
        }
        // if the item is greater than or equal to its largest child,
        // then the item is where it belongs.
        if (h1.array[i] >= h1.array[largestChildIndex])
        {
            break;
        }
        // swap the item with its child, and check again
        swap(h1.array[i], h1.array[largestChildIndex])
        i = largestChildIndex
    }
}

事實證明， 構建堆算法為O（n），其中n是要構建的堆中的項目數。 由於您僅使用h2.length項目，因此將花費O（h2.length）個時間。