遞歸組合時間復雜度分析

Question

T（n）中遞歸二項式系數的指數時間復雜度的任何解釋

int C(int n, int k){
  if(n==k || k==0)return 1;
  return C(n-1, k) + C(n-1, k-1);
}  

Answer 1

令T(a,b)為函數C(a,b)在C(n,k)的遞歸調用樹中被調用的次數。 由於C(a,b)被來自兩個稱為C(a+1,b)和C(a+1,b+1)各任何這些2的被調用時），我們得到T(a,b)=T(a+1,b)+T(a+1,b+1) 。 這是Pascal的三角形公式 ：遞歸調用樹的最后一級中的T s構成Pascal三角形的第n級，因此與n呈指數關系（不包括邊緣情況，例如k=1或k=n ，因此例如k=n/2 ）。

如果緩存結果，則可以使算法的時間為O(n*k) 。