為什么SymPy會計算錯誤的平面相交？

Question

我有一個奇怪的問題，SymPy中的平面交集可以使用簡單的示例，但是對於具有更復雜坐標的平面卻無法使用。 我既發布了一個簡單的示例，也發布了一個失敗的示例。 如Povray圖像所示，我有三個平面，這些平面穿過多面體的頂點，並且垂直於穿過相應頂點和中心的線。 我想計算這些平面相交的點，但是SymPy對於平面對相交的線給出了錯誤的結果。 在圖像中，正確的交點可以看作是短線（使用CSG交點創建）。 與它們平行的長線是由SymPy計算的。

我是在做錯什么，還是這是SymPy中的錯誤？

更多圖片在這里： http : //paste.watchduck.net/1712/sympy_planes/
有誰知道如何在頁面上放置許多圖像而不被阻止發布問題？ （“您的帖子似乎包含未正確格式化為代碼的代碼。”）

作品

碼：

from sympy import Point3D, Plane


pointR = Point3D(1/2, 0, 1/2)
pointG = Point3D(1, 0, 0)

planeR = Plane(pointR, pointR)
planeG = Plane(pointG, pointG)

print('\n######## Intersection of the planes:')
lineRG = planeR.intersection(planeG)[0]  # yellow
print(lineRG)

print('\n######## Intersection of plane and contained line returns the line:')
lineRG_again = planeR.intersection(lineRG)[0]
print(lineRG_again.equals(lineRG))

輸出：

######## Intersection of the planes:
Line3D(Point3D(1, 0, 0), Point3D(1, 1/2, 0))

######## Intersection of plane and contained line returns the line:
True

失敗

碼：

from sympy import sqrt, Point3D, Plane

pointR = Point3D(-1, 1 + sqrt(2), -2*sqrt(2) - 1)
pointG = Point3D(-sqrt(2) - 1, 1, -2*sqrt(2) - 1)
pointB = Point3D(-1, -sqrt(2) - 1, -2*sqrt(2) - 1)

planeR = Plane(pointR, pointR)
planeG = Plane(pointG, pointG)
planeB = Plane(pointB, pointB)

print('\n######## Intersections of the planes:')

lineRG = planeR.intersection(planeG)[0]  # yellow
lineRB = planeR.intersection(planeB)[0]  # magenta
lineGB = planeG.intersection(planeB)[0]  # cyan

print(lineRG)
print(lineRB)
print(lineGB)

print('\n######## Lines RG (yellow) and GB (cyan) intersect:')
print(lineRG.intersection(lineGB))
print('\n######## But line RB (magenta) is skew to both of them:')
print(lineRB.intersection(lineRG))
print(lineRB.intersection(lineGB))

print('\n######## Intersection of plane and contained line fails:')
lineRG_again = planeR.intersection(lineRG)

輸出：

######## Intersections of the planes:
Line3D(Point3D(-1, 1, 0), Point3D((1 + sqrt(2))*(-2*sqrt(2) - 1) + 2*sqrt(2), -2*sqrt(2) + (-2*sqrt(2) - 1)*(-sqrt(2) - 1), -1 - (1 + sqrt(2))*(-sqrt(2) - 1)))
Line3D(Point3D(-1, 0, 0), Point3D((1 + sqrt(2))*(-2*sqrt(2) - 1) - (-2*sqrt(2) - 1)*(-sqrt(2) - 1) - 1, 0, 2 + 2*sqrt(2)))
Line3D(Point3D(-1, 1, 0), Point3D(-(-2*sqrt(2) - 1)*(-sqrt(2) - 1) - 2*sqrt(2) - 2, -(-2*sqrt(2) - 1)*(-sqrt(2) - 1) + 2 + 2*sqrt(2), 1 + (-sqrt(2) - 1)**2))

######## Lines RG (yellow) and GB (cyan) intersect:
[Point3D(-1, 1, 0)]

######## But line RB (magenta) is skew to both of them:
[]
[]

######## Intersection of plane and contained line fails:
Traceback (most recent call last):
  File "planes2.py", line 47, in <module>
    lineRG_again = planeR.intersection(lineRG)
  File "/home/tilman/Code/024_polyhedron/env/lib/python3.5/site-packages/sympy/geometry/plane.py", line 390, in intersection
    p = a.subs(t, c[0])
  File "/home/tilman/Code/024_polyhedron/env/lib/python3.5/site-packages/sympy/core/basic.py", line 916, in subs
    rv = rv._subs(old, new, **kwargs)
  File "/home/tilman/Code/024_polyhedron/env/lib/python3.5/site-packages/sympy/core/cache.py", line 93, in wrapper
    retval = cfunc(*args, **kwargs)
  File "/home/tilman/Code/024_polyhedron/env/lib/python3.5/site-packages/sympy/core/basic.py", line 1030, in _subs
    rv = fallback(self, old, new)
  File "/home/tilman/Code/024_polyhedron/env/lib/python3.5/site-packages/sympy/core/basic.py", line 1007, in fallback
    rv = self.func(*args)
  File "/home/tilman/Code/024_polyhedron/env/lib/python3.5/site-packages/sympy/geometry/point.py", line 1104, in __new__
    args = Point(*args, **kwargs)
  File "/home/tilman/Code/024_polyhedron/env/lib/python3.5/site-packages/sympy/geometry/point.py", line 159, in __new__
    raise ValueError('Imaginary coordinates are not permitted.')
ValueError: Imaginary coordinates are not permitted.

圖片：

編輯：與SymPy 1.1.2一起使用

安裝了SymPy的開發版本（ pip install git+https://github.com/sympy/sympy.git ）后，我得到了正確的結果：

######## Intersections of pairs of planes:
Line3D(Point3D(-7 + sqrt(2)/2, -sqrt(2)/2 + 7, 0), Point3D((1 + sqrt(2))*(-2*sqrt(2) - 1) - 6 + 5*sqrt(2)/2, -5*sqrt(2)/2 + 6 + (-2*sqrt(2) - 1)*(-sqrt(2) - 1), -1 - (1 + sqrt(2))*(-sqrt(2) - 1)))
Line3D(Point3D(-13 - 6*sqrt(2), 0, 0), Point3D(-13 + (1 + sqrt(2))*(-2*sqrt(2) - 1) - (-2*sqrt(2) - 1)*(-sqrt(2) - 1) - 6*sqrt(2), 0, 2 + 2*sqrt(2)))
Line3D(Point3D(-13/2 - 3*sqrt(2), -7*sqrt(2)/2 + 1/2, 0), Point3D(-(-2*sqrt(2) - 1)*(-sqrt(2) - 1) - 15/2 - 5*sqrt(2), -(-2*sqrt(2) - 1)*(-sqrt(2) - 1) - 3*sqrt(2)/2 + 3/2, 1 + (-sqrt(2) - 1)**2))

######## Intersection of all planes:
[Point3D(0, 0, -20*sqrt(2)/7 - 11/7)]

Answer 1

在SymPy 1.1.1和更早版本中，當法線向量涉及部首時， intersection返回錯誤結果。 這是一個更簡單的示例：

p1 = Plane((1, 0, 0), (sqrt(2), 0, 0))
p2 = Plane((1, 1, 1), (1, 1, 1))
line = p1.intersection(p2)[0]      # this line is wrong
print(line.arbitrary_point())

這會將線的參數方程式返回為Point3D(3, -sqrt(2)*t, sqrt(2)*t)這是錯誤的，因為第一平面的方程式為sqrt（2）*（x-1）= 0，即，x = 1。

您仍然可以找到與的正確交集方程

solve([p1.equation(), p2.equation()])

但這並不容易繪制。

好消息

該錯誤（在linsolve方法中）已在當前的開發版本1.1.2.dev中修復。 從GitHub repo獲取它。

早期版本的解決方法

用浮點數替換部首：

pointR = Point3D(-1, N(1 + sqrt(2)), N(-2*sqrt(2) - 1))
pointG = Point3D(N(-sqrt(2) - 1), 1, N(-2*sqrt(2) - 1))
pointB = Point3D(-1, N(-sqrt(2) - 1), N(-2*sqrt(2) - 1))

這不會使一切都完美無缺，但是應該減少bug的影響，並且您可以為圖表獲得合理的交點。

Answer 2

在正在開發的版本上，此錯誤尚未完全解決。 特別是關於非簡單坐標的直線和圓之間的交點。 您可以改用shapely：

[ 在python中找到直線和圓的交點的最有效方法是什么？