什么樣的態射是類別理論中的“過濾器”？

Question

在范疇理論中， filter操作是否被視為態射？ 如果是，那是什么樣的態射？ 示例（在Scala中）

val myNums: Seq[Int] = Seq(-1, 3, -4, 2)

myNums.filter(_ > 0)
// Seq[Int] = List(3, 2) // result = subset, same type

myNums.filter(_ > -99)
// Seq[Int] = List(-1, 3, -4, 2) // result = identical than original

myNums.filter(_ > 99)
// Seq[Int] = List() // result = empty, same type

Answer 1

在這個答案中，我將假設您正在討論Set filter （其他數據類型的情況似乎更加混亂）。

讓我們先解決我們所說的問題。 我將具體談談以下函數（在Scala中）：

def filter[A](p: A => Boolean): Set[A] => Set[A] = 
                                     s => s filter p

當我們以這種方式寫下它時，我們清楚地看到它是一個帶有類型參數A的多態函數，它將謂詞A => Boolean映射到Set[A]映射到其他Set[A]函數。 為了使它成為“態射”，我們必須首先找到一些類別，其中這個東西可能是“態射”。 有人可能會希望它的自然轉化，因此，在“默認環境類式的結構”中endofunctors類別態射通常被稱為“ Hask ”（或“ Scal ‘？’ Scala ”？）。 為了表明它是自然的，我們必須檢查下面的圖表是否為每個f: B => A通勤f: B => A ：

                       - o f
Hom[A, Boolean] ---------------------> Hom[B, Boolean]
     |                                       |
     |                                       |
     |                                       |
     | filter[A]                             | filter[B]
     |                                       |
     V                  ???                  V
Hom[Set[A], Set[A]] ---------------> Hom[Set[B], Set[B]]

然而，在這里我們立刻失敗了，因為它不清楚甚至放在底部的水平箭頭上，因為賦值A -> Hom[Set[A], Set[A]]甚至看起來都不是很有趣（對於同樣的原因，為什么A -> End[A]不是函數，請參見此處和此處 ）。

我在這里看到的固定類型A的唯一“分類”結構如下：

• 上謂詞A可以被認為是部分有序集與含義，也就是p LEQ q如果p意味着q （即，或者p(x)必須為假，或者q(x)必須是真實的所有x: A
• 類似地，在函數Set[A] => Set[A] ，我們可以為每個集合定義一個f LEQ g的偏序s: Set[A]它認為f(s)是g(s)子集。

然后filter[A]將是單調的，因此是poset類別之間的函子。 但那有點無聊。

當然，對於每個固定的A ，它（或者說它的eta擴展）也只是一個函數，從A => Boolean到Set[A] => Set[A] ，所以它自動成為“ Hask ”中的“態射” -類別”。 但那更無聊。

Answer 2

查看此事的一個有趣方式是不選擇filter作為原始概念。 有一個名為Filterable的Haskell類型，它被恰當地描述為 ：

像Functor一樣，但它[包括] Maybe效果。

從形式上看，類Filterable代表Kleisli也許到Hask函子。

“ Kleisli Maybe到Hask的仿函數”的態射映射由類的mapMaybe方法捕獲，這確實是同名Data.Maybe函數的推廣：

mapMaybe :: Filterable f => (a -> Maybe b) -> f a -> f b

階級法則只是適當的算子法則（請注意Just和(<=<)分別是Kleisli中的身份和構成）：

mapMaybe Just = id
mapMaybe (g <=< f) = mapMaybe g . mapMaybe f

該課程也可以用catMaybes來表達......

catMaybes :: Filterable f => f (Maybe a) -> f a

...與mapMaybe可以相互mapMaybe （參見sequenceA和traverse之間的類似關系）......

catMaybes = mapMaybe id
mapMaybe g = catMaybes . fmap g

......相當於Hask endofunctors之間的自然轉換Compose f Maybe和f 。

所有這些都與你的問題有什么關系？ 首先，仿函數是類別之間的態射，自然變換是仿函數之間的態射。 既然如此，就可以在某種意義上談論這里的態射， 這種態度不像 “ 哈斯克斯的態射”那樣乏味 。 你不一定想這樣做，但在任何情況下，現有的有利位置。

其次， filter也是一種Filterable方法，毫不奇怪，它的默認定義是：

filter :: Filterable f => (a -> Bool) -> f a -> f a
filter p = mapMaybe $ \a -> if p a then Just a else Nothing

或者，使用另一個可愛的組合器拼寫它：

filter p = mapMaybe (ensure p)

這間接地使filter在這個特定的分類概念星座中占有一席之地。

Answer 3

回答是這樣的問題，我想首先了解過濾的本質是什么。

例如，輸入是一個列表是否重要？ 你能過濾一棵樹嗎？ 我不明白為什么不！ 您將謂詞應用於樹的每個節點，並丟棄未通過測試的節點。

但結果的形狀是什么？ 節點刪除並不總是被定義，或者它是不明確的。 你可以返回一個清單。 但為什么要列出？ 任何支持追加的數據結構都可行。 您還需要數據結構的空成員來啟動附加過程。 所以任何單位岩漿都會這樣做。 如果你堅持相關性，你會得到一個幺半群。 回顧filter的定義，結果是一個列表，這確實是一個幺半群。 所以我們走在正確的軌道上。

因此， filter只是所謂的Foldable一種特殊情況：一種數據結構，您可以在將結果累積到一個幺半群時折疊。 特別是，你可以使用謂詞來輸出單例列表，如果它是真的; 或者一個空列表（標識元素），如果它是假的。

如果你想要一個絕對的答案，那么折疊就是一個變形現象的例子，這是代數范疇中的態射的一個例子。 您正在折疊的（遞歸）數據結構（列表，在filter的情況下）是某個仿函數的初始代數（在本例中為列表仿函數），並且您的謂詞用於為此仿函數定義代數。

Answer 4

filter可以用foldRight寫成：

filter p ys = foldRight(nil)( (x, xs) => if (p(x)) x::xs else xs ) ys

foldRight on lists是T-algebras的映射（這里T是List數據類型foldRight函數），因此filter是T-algebras的映射。

這里討論的兩個代數是初始列表代數

[nil, cons]: 1 + A x List(A) ----> List(A)

而且，讓我們說“過濾器”代數，

[nil, f]: 1 + A x List(A) ----> List(A)

其中f(x, xs) = if p(x) x::xs else xs 。

在這種情況下filter(p, _)讓我們將filter(p, _)稱為從初始代數到過濾器代數的唯一映射（在一般情況下稱為fold ）。 它是代數映射的事實意味着滿足以下等式：

filter(p, nil) = nil
filter(p, x::xs) = f(x, filter(p, xs))