長度為n的長度為3的不同子序列的數量

Question

如何計算長度的不同的子序列的數目3 （或一般長度的k < n的長度的陣列） n ？

注意：如果兩個子序列中的元素順序不同，則認為它們是不同的。

例如：假設數組A = [1, 2, 1, 1] 1,2,1,1 A = [1, 2, 1, 1] ，那么答案應該是3因為長度3只有三個不同的子序列，如下所示：

[1, 1, 1]
[1, 2, 1]
[2, 1, 1]

數組的大小n <= 10^5 ，數組A_i <= n中的每個元素A_i <= n 。

我的方法：

我想到了蠻力方法，即采用長度為3元組並將其插入地圖中。 但這不是空間/時間效率。

編輯 ：這是一個采訪問題，它說， 對於k = 3 ，預期的時間和空間復雜度是O(n) 。

Answer 1

與面試問題一樣，有動態編程解決方案。 令T(m, k)為前m元素的不同長度k序列的數量。 然后假設輸入A有一個基於索引的索引，我們有2D重復

T(m, 0) = 1
T(m, k) = T(m-1, k) + T(m-1, k-1) -
          ^^^^^^^^^   ^^^^^^^^^^^
     A_m not chosen   A_m chosen

            { T(i-1, k-1), if i < m is the maximum index where A_i = A_m
            { 0,           if no such index exists

減去的術語確保我們不計算重復項; 有關更多說明，請參閱https://stackoverflow.com/a/5152203/2144669 。

運行時間（使用哈希映射來保持到目前為止看到的每個符號的最右邊的出現）是O(kn) ，對於k = 3是O(n) 。

Answer 2

這是一個略有不同的看法。 我們可以想到元素m在子序列中可以是k th的方式的數量，作為任何元素（包括m ）的先前出現的所有方式的總和可以是(k-1) th。 然而，當我們向右移動時，唯一需要的更新是m ; 其他金額保持不變。

例如，

// We want to avoid counting [1,1,1], [1,2,1], etc. twice
[1, 2, 1, 1, 1]

（為方便起見，垂直顯示數組）

            <-  k  ->
[1,  ->  1: [1, 0, 0]
 2,  ->  2: [1, 1, 0]
 1,  ->  1: [1, 2, 1]
 1,  ->  1: [1, 2, 3]
 1]  ->  1: [1, 2, 3]

現在，如果我們添加另一個元素，比如說3，

...
 3]  ->  3: [1, 2, 3]

 // 1 means there is one way
 // the element, 3, can be first

 // 2 means there are 2 ways
 // 3 can be second: sum distinct
 // column k[0] = 1 + 1 = 2

 // 3 means there are 3 ways
 // 3 can be third: sum distinct
 // column k[1] = 2 + 1 = 3

求和k[2]列：

0 + 3 + 3 = 6 subsequences

[1,2,1], [2,1,1], [1,1,1]
[1,1,3], [2,1,3], [3,2,1]

每列的sum-distinct可以在每次迭代中以O(1)更新。 當前元素的k和（我們更新每個元素的單個列表），取O(k) ，在我們的例子中是O(1) 。

JavaScript代碼：

 function f(A, k){ A.unshift(null); let sumDistinct = new Array(k + 1).fill(0); let hash = {}; sumDistinct[0] = 1; for (let i=1; i<A.length; i++){ let newElement; if (!hash[A[i]]){ hash[A[i]] = new Array(k + 1).fill(0); newElement = true; } let prev = hash[A[i]].slice(); // The number of ways an element, m, can be k'th // in the subsequence is the sum of all the ways // the previous occurence of any element // (including m) can be (k-1)'th for (let j=1; j<=k && j<=i; j++) hash[A[i]][j] = sumDistinct[j - 1]; for (let j=2; j<=k && j<=i; j++) sumDistinct[j] = sumDistinct[j] - prev[j] + hash[A[i]][j]; if (newElement) sumDistinct[1] += 1; console.log(JSON.stringify([A[i], hash[A[i]], sumDistinct])) } return sumDistinct[k]; } var arr = [1, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 1]; console.log(f(arr, 3));