為什么初始代數對應於數據和最終的余代數？

Question

如果我理解正確，我們可以將歸納數據類型建模為初始F-代數和共感應數據類型作為最終F-余代數（對於適當的內耦合器F ）[ 1 ]。 據我所知，根據Lambek引理初始代數（和最終余代數）被固定在同構的單點解決方案T ≅ FT ，但我不明白為什么最初的代數是最固定的點，而最后的余代數是最大的固定點。 （顯然同構T ≅ FT有一個解決方案嗎？）

另外，我還不清楚類型理論中如何定義歸納和共感數據類型。 是否有關於此主題的推薦資源，以及它們與類別理論的關系？

謝謝！

Answer 1

我的理解是，原則上，定點方程T ≅ FT可能有很多解。 根據Lambek的引理，初始代數（如果存在）是其中一個固定點。 事實上，這是最不固定的一點。

有一個通用條件定義了最小的固定點，沿着與滿足某些換向條件的任何其他固定點存在唯一態射的線。

換句話說，並非每個固定點都定義了初始代數。

同樣的論證適用於最終的余代數和最大的固定點。

例如，參見Functor的最小不動點 。