Coq：如何引用特定構造函數生成的類型？

Question

例如，如果我定義一個從nat到nat的函數，那就是

Definition plusfive(a:nat): nat := a + 5.

但是，我想定義一個函數，其參數是使用“S”構造函數（即非零）構造的nat，是否可以直接指定為類型？ 就像是

Definition plusfive(a: nat.S): nat := a + 5.

（我知道，這種情況下我也可以用一個證明，添加一個參數a不為零，但我想知道是否有可能直接命名基於“S”的構造函數的類型）。

Answer 1

函數必須完整，所以你必須使用一些子類型而不是nat ，或者添加一個減少輸入空間的參數，例如(H: a<>0)

Definition plusfive(a:nat) (H:a<>0) :=
  match a as e return a=e -> _ with
  | S _ => fun _  => a + 5
  | _   => fun H0 => match (H H0) with end
  end eq_refl.

然而，已發現這些技巧在大型開發中使用起來非常麻煩，並且通常會在基類型上使用完整函數來返回錯誤輸入值的虛擬值，並證明使用正確參數調用函數與功能定義分開。 例如，請參閱標准庫中如何定義除法。

Require Import Nat.
Print div.

div = 
fun x y : nat => match y with
                 | 0 => y
                 | S y' => fst (divmod x y' 0 y')
                 end
     : nat -> nat -> nat

所以Compute (div 1 0). 給你0 。

好處是你可以直接在表達式中使用div ，而不必交錯分母非零的證明。 在定義表達式之后 ，證明表達式是正確的，而不是同時進行。