尋找對的更有效方法

Question

我最近遇到了一個問題，它說要找到好的一對圈數。 當通過連接第一圓上的任何點P1和第二圓上的P2時可以獲得給定距離時，形成一對良好的圓。 我們給出N個圓和Q距離。 接下來的N行包含圓心的坐標（ X ， Y ）及其半徑R. 之后，下一個Q列出要檢查的距離。

以下限制適用：

2≤N≤10 ³

1個^{≤Q≤5⋅105}

^{X，Y≤|2⋅105} |

1個^{≤[R≤2⋅105}

0≤ķ≤10 ⁶

執行時間必須<1秒。

在這里， K是要檢查的距離。

刪除了我的代碼，因為它是正在進行的競賽的一部分

我的代碼只被部分接受了，我花了好幾個小時試圖為這個問題找到一個有效的算法。 任何人都可以為這個問題提供一個有效的方法，以便TLE得到解決？

Answer 1

這是我可以從頭腦中思考的可能解決方案：

• 迭代每對圓（c ₁ ，c ₂ ）並計算兩個值（PS（c ₁ ，c ₂ ）與（c ₂ ，c ₁ ）不同）
  1. 如果c ₂完全位於c _1內，則忽略該對。
  2. 值₁ - 圓c ₁和c ₂之間的最短距離， - 它們的中心之間的距離 - r ₁ - r ₂表示不相交的圓， 0表示相交的圓， r ₂ - dist - r ₁表示c _1的位置在c _2內 。
  3. 值₂ - 應增加r _1的最小值，使得c ₁完全吞沒c ₂ ，使得它們根本不相交 - 這是它們的中心之間的距離+ r ₂ - r ₁用於不相交或相交的圓和dist + r2休息。
• 該范圍[ 值₁ ， 值₂ ]定義了圓c ₁的半徑應該增加的量，使得它與c ₂相交，在我們的情況下由c定義。如果K屬於范圍[ 值₁ ， 值_2]，那么我們可以gaurantee會有離開的點P ₁上的C ₁和點P ₂上的C _2，使得它們之間的距離是K.這是因為如果我們增加C1 _的半徑在該范圍內，它將與c ₂相交。
• 上述操作將具有時間復雜度O（n ² ）。 我們可以從所有可能的圓圈對中收集所有范圍，並回答我們只需要檢查給定K所在的范圍是否需要的任何查詢。
• 為了方便查詢，我們可以使用二進制索引樹來存儲我們的范圍，其中我們在索引值₁處添加+1，在索引（ 值₂ + 1）處為-1添加二進制索引樹，然后為每個查詢檢查是否讀取在索引K上> 0。使我們能夠在O（log（K））中返回任何查詢的答案。 構造樹的成本是O（N ² log（K）） - 包括形成所有圓對。
• 我們還可以使用輔助數組而不是二進制索引樹來回答O（1）中的查詢，如果需要，我願意討論其范圍。

至於輔助數組方法，初始化一個長度為K的數組，即10 ^ 6，所有元素最初都設置為0.現在維護所有值_1的最小堆和所有值為Value _2的另一個最小堆。 現在，

aux_array = [0, 0, ... ]
curVal = 0
for i in range(0, 10^6):
  while minHeapValue1.root() == i:
     curVal += 1
     minHeapValue1.rootPop()
  while minHeapValue2.root() == i:
     curVal -= 1
     minHeapValue2.rootPop()
  aux_array[i] = curVal

現在，如果aux_array [query_k_value]> 0，則表示存在包含query_k_value的范圍，否則不存在。

因此，問題的總時間復雜度為O（Qlog（K）+ N ² log（K））。