是什么讓Haskell中的兩個類型表達式相當？

Question

所以我被問到這三種類型的表達式在Haskell中是否相同：

τ1 = (a -> a) -> (a -> a -> a)
τ2 = a -> a -> ((a -> a) -> a)
τ3 = a -> a -> (a -> (a -> a))

如果我拿走括號，我就離開了

τ1 = (a -> a) -> a -> a -> a
τ2 = a -> a -> (a -> a) -> a
τ3 = a -> a -> a -> a -> a

所以對我來說很明顯，他們彼此都是不同的。 但是，根據這個問題，這兩個答案是錯誤的：

τ1 !≡ τ2 !≡ τ3 !≡ τ1
τ1 !≡ τ2 ≡ τ3

所以我在這里有點困惑，什么是正確的答案，為什么？

Answer 1

事實上，你提到的原因都很明顯。

我們甚至可以要求GHC確認。 （下面，我選擇了a ~ Int來獲得封閉式。）

> import Data.Type.Equality
> type T1 a = (a -> a) -> (a -> a -> a)
> type T2 a = a -> a -> ((a -> a) -> a)
> type T3 a = a -> a -> (a -> (a -> a))
> :kind! T1 Int == T2 Int
T1 Int == T2 Int :: Bool
= 'False
> :kind! T1 Int == T3 Int
T1 Int == T3 Int :: Bool
= 'False
> :kind! T2 Int == T3 Int
T2 Int == T3 Int :: Bool
= 'False

Answer 2

三種類型......

type T1 a = (a -> a) -> (a -> a -> a)
type T2 a = a -> a -> ((a -> a) -> a)
type T3 a = a -> a -> (a -> (a -> a))

......確實是截然不同的。 但是， T1和T2在它們之間存在同構的意義上是等價的 ，這相當於改變了參數的順序：

GHCi> :info T1
type T1 a = (a -> a) -> a -> a -> a
    -- Defined at <interactive>:12:1
GHCi> :info T2
type T2 a = a -> a -> (a -> a) -> a
    -- Defined at <interactive>:13:1

GHCi> :t flip
flip :: (a -> b -> c) -> b -> a -> c
GHCi> :t (flip .)
(flip .) :: (a1 -> a2 -> b -> c) -> a1 -> b -> a2 -> c

GHCi> f = (flip .) . flip
GHCi> :t f :: T1 a -> T2 a
f :: T1 a -> T2 a :: T1 a -> T2 a
GHCi> g = flip . (flip .)
GHCi> :t g :: T2 a -> T1 a
g :: T2 a -> T1 a :: T2 a -> T1 a

然后我們可以證明f和g是逆的（即g。f g . f = id和f . g = id ）：

f . g
(flip .) . flip . flip . (flip .)
(flip .) . (flip .) -- flip . flip = id
id -- (flip .) . (flip .) = \h -> \x -> flip (flip (h x)) = \h -> \x -> h x = id

g . f
flip . (flip .) . (flip .) . flip
flip . flip 
id

Answer 3

我同意你的評估。 所有三種類型都不同，您已正確簡化它們。 如果您認為所提供的答案與您的答案不一致，您確定您正在閱讀問題並正確回答嗎？