范圍[i，j]中的第k階統計量

Question

有一個問題，但我找不到一個有效的算法。

問題

給定一個數組a[1], ..., a[n] ，我們得到這種類型的查詢：

• SELECT(i, j, k) ：在排序a[i], a[i+1], ..., a[j]之后找到范圍[i，j]中的第k個最小數字
• SET(i, value) ：執行a[i] = value

例

輸入：

5 5 // n = 5 (size of array), m = 5 (number of query)
5 10 9 6 7
select 2 4 1
select 2 4 2
set 3 12
set 4 15
select 2 4 1

輸出：

6
9
10

我認為我們可以使用Merge Sort Tree （ Special segment tree ）來實現它。 我在互聯網上找到了這個： 合並排序樹，用於范圍訂單統計

但是因為我們可以改變數組值，這個算法效率不高。
是否有可能幫助我，我該如何有效地實施它？
謝謝。

Answer 1

我不知道合並排序樹，但我可以想到不同的數據結構/算法，它為每個查詢提供O(n)的期望輸出。

注意這個問題的解決方案取決於SET和SELECT查詢之間的分配 - >我假設有更多的SELECT ，所以我試圖降低這種復雜性。 如果你有更多SET ，那么我會使用@miradham回答：

        david    miradham 
SET      O(n)      O(1)
SELECT   O(n)      O(nlogn)
Space    O(n)      O(n)

兩種解決方案都是O(n)空間復雜度。

在您的問題中，您使用從1開始的索引 - >我將其修改為從0開始。

讓我們看看你的例子： a = array (5, 10, 9, 6, 7) 。 作為預處理，我們將創建排序數組，其中還包含元素的原始索引 - > b = array(5(0), 6(3), 7(4), 9(2), 10(1))時括號中的數字是原始數組中的索引a 。 這可以在O(nlogn) 。

我們如何處理查詢？

SELECT（i，j，k） ：

let cnt = 1;
for m in b (sorted array)
    if m(index) <= i && m(index) <= j // the index is in given range
        if (cnt == k)
            return k // found the k lowest
        else cnt++

當你循環遍歷b這是O(n)

SET（i，value） ：

更改a很容易，可以在O(1) 。 改變b ：

originalValue = a[i] // old value
Add [value(i)] to b as new element // O(logn) as b sorted
Remove [originalValue(i)] from b // b sorted but array implementation may cause O(n)

O(n)總數

如果需要進一步說明，請隨意詢問。 希望有所幫助！