如何有效地計算數組項之間的差異，並找出多少差異小於某個特定值？

Question

我有一個數組，需要計算每個項目與所有其他項目之間的差。 如果差異小於或等於某個值（限制），我必須將其計為1。

我使用蠻力方法實現了它：

for (int i = 0; i < n; i++) {
    int j = 0;
    while (j < n) {

        if (Math.abs(arr1[i] - arr1[j]) <= limit) {
            sum = sum + 1;
        }
        j++;
    }
}

現在，我正在尋找優化的解決方案，因為這里的時間復雜度是O(n^2) 。 如果要避免2個循環，什么是解決此問題的好方法？

Answer 1

如果必須確定數組中每對元素之間的差異是否小於或等於限制，則最好對數組進行排序（O（NlogN））。

現在，對於排序數組中的每個元素x，您必須找到值在x-limit和x + limit之間的元素范圍的長度。 可以在O(logN)時間內使用二進制搜索（即調用Arrays.binarySearch(sortedArray, x - limit)和Arrays.binarySearch(sortedArray, x + limit) ）找到此內容。 您將該范圍的長度加到總和中。

由於您必須對每個元素重復該操作，因此總時間為O（NlogN）。

最后，由於您要對每對進行兩次計數，因此必須將結果除以二。

總運行時間為O(NlogN) + O(NlogN) = O(NlogN) 。

順便說一句，您當前的實現似乎不正確：

1. 您正在將每個元素與其自身進行比較，該元素的總和將具有n的額外值。

2. 您將每對元素進行兩次比較，因此每對足夠接近的元素將被計數兩次。

編輯：實際上，由於不是只對每個接近對進行兩次計數然后除以2，因此，如果我們僅對array[i] （不包括）和array[i] + limit （包括）之間的元素數進行計數，則可以對這些對進行一次計數）。 這意味着為每個索引運行一次二進制搜索就足夠了。

這是一個正在運行的示例：

public static int comparePairs (int[] arr1, int limit) {
    int sum = 0;
    Arrays.sort (arr1);
    for (int i = 0; i < arr1.length - 1; i++) {
        int last = Arrays.binarySearch (arr1, arr1[i] + limit);
        if (last > 0) {
          sum += last - i;
        } else {
          sum += -last - i - 2;
        }
    }
    return sum;
}

請注意，它不支持重復元素，因此需要進行一些調整才能使用重復元素。

例如，它為數組{2,6,4,3,1,5}返回9 ，並為極限2 （兩對為（1,2）（1,3）（2,3）（2,4） （3,4）（3,5）（4,5）（4,6）（5,6））。