教堂數字

Question

Poly模塊中有4個與教堂數字相關的練習：

Definition cnat := forall X : Type, (X -> X) -> X -> X.

據我所知，cnat是一個函數，它接受函數f（x），它的參數x並返回它的參數值：f（x）。

然后有4個例子，0,1,2和3用Church表示法表示。

但是如何解決這個問題？ 我知道我們必須再次應用這個功能。 cnat返回的值將是參數。 但是如何編碼呢？ 使用遞歸？

Definition succ (n : cnat) : cnat
  (* REPLACE THIS LINE WITH ":= _your_definition_ ." *). Admitted.

更新

我試過這個：

Definition succ (n : cnat) : cnat :=
match n with
| zero => one
| X f x => X f f(x) <- ?

Answer 1

據我所知，cnat是一個函數，它接受函數f（x），它的參數x並返回它的參數值：f（x）。

請注意， cnat本身不是一個功能。 相反， cnat是所有這些函數的類型 。 另請注意， cnat元素cnat將X作為參數。 它有助於牢記cnat的定義。

Definition succ (n: cnat): cnat.
Proof.
  unfold cnat in *. (* This changes `cnat` with its definition everywhere *)
  intros X f x.

在此之后，我們的目標只是X ，我們有n : forall X : Type, (X -> X) -> X -> X ， X ， f和x作為前提。

如果我們將n應用於X ， f和x （作為n X fx ），我們將獲得X的元素，但這不是我們想要的，因為最終結果將再次為n 。 相反，我們需要申請f某處的額外時間。 你能看到哪里嗎？ 有兩種可能性。

Answer 2

請記住，教會數字是兩個參數的函數（如果您也計算類型，則為三個參數）。 參數是函數f和起始值x0 。 教會數字將f應用於x0若干次。 Four f x0將對應於f (f (f (f x0)))並且Zero f x0將忽略f並且僅為x0 。

對於n的后繼者，請記住n將為你應用任何函數f n次，所以如果你的任務是創建一個函數，在某些x0 n+1次上應用一些f ，只需將大部分工作留給教會數字n ，給它你的f和x0 ，然后用另外一個f應用完成n返回的結果。

您將不需要任何match因為函數不是可以通過案例分析的歸納數據類型...

Answer 3

您可以通過以下方式編寫succ的Definition ：

Definition succ (n : cnat) : cnat :=
    fun (X : Type) (f : X -> X) (x : X) => f (n X f x).