如何在coq中定義教堂數字的exp？

Question

感謝Software Fondation 的電子書，我目前正在學習 coq。 我成功編寫了如下添加：

Definition cnat := forall X : Type, (X -> X) -> X -> X.
Definition plus (n m : cnat) : cnat :=
  fun (X : Type) (f : X -> X) (x : X) => n X f (m X f x).

但是由於以下錯誤，我被 exp 卡住了：

Definition exp (n m : cnat) : cnat :=
  m cnat (mult n) n.
(*
In environment
n : cnat
m : cnat
The term "cnat" has type "Type@{cnat.u0+1}"
while it is expected to have type "Type@{cnat.u0}"
(universe inconsistency). 
*)

因為他們寫道：

如果您遇到“Universe inconsistency”錯誤，請嘗試迭代不同的類型。 迭代cnat 本身通常是有問題的。 我嘗試使用cnat的定義：

Definition exp (n m : cnat) : cnat :=
  m (forall X : Type, (X -> X) -> X) (mult n) n.

但后來我有：

In environment
n : cnat
m : cnat
The term "mult n" has type "cnat -> cnat"
while it is expected to have type
 "(forall X : Type, (X -> X) -> X) -> forall X : Type, (X -> X) -> X"
(universe inconsistency).

我不要求解決方案，但我真的很想了解這些錯誤。 謝謝你的燈！

Answer 1

只需為其他陷入此問題的人發布解決方案。

Definition exp (n m : cnat) : cnat := 
  fun X => (m (X->X)) (n X).

關鍵是理解m (X->X) 。 下圖可能會有所幫助。

2 ^ 2 的示例