C ++代碼片段的大O符號和時間復雜性

Question

所以我正在尋找c ++代碼片段的時間復雜性的確認：

for(int i = 0; i<N, i++){
    for(int k = 1; k<N; k*=2){
    //code with O(1)
    }
 }

我認為這將是O(NlgN) ，其中lg是log base 2.內部循環將是O(lgN)因為k在每次迭代后加倍。 外部循環顯然是O(N) ，使整個代碼：

 O(N)*O(lgN) = O(NlgN).

Answer 1

是的，它在O（n log n）中，但是基數與大O符號f=n \\cdot log_2(n) \\in \\mathcal{O}(log_2(n) * n ) \\subseteq \\mathcal{O}(\\frac{ln(n)}{ln(2)} * n ) \\subseteq \\mathcal{O}(log(n) * n ) \\ni f = n \\cdot ln (n)因為f=n \\cdot log_2(n) \\in \\mathcal{O}(log_2(n) * n ) \\subseteq \\mathcal{O}(\\frac{ln(n)}{ln(2)} * n ) \\subseteq \\mathcal{O}(log(n) * n ) \\ni f = n \\cdot ln (n) ie

注意最后的日志應該仍然是ln，但是人們並不關心每當log是10或e的基數時的混亂，因為它在大O中無關緊要。

因此，即使for(int k = 2; k<N; k*= k) ，使用大O表示法時復雜度也相同。 然而，有時人們在比較非常小的優化時會記下常數因素，但除非你在談論在全球數十億實例上運行的快速排序實現，否則這是不可行的。

對於我們如何確定你的內部循環是由log(n)約束的部分我有點也沒有找到一個很好的數學證明。 當然執行它是一種證明，但我的理論方法是，我們可以同意內循環執行的頻率與函數k *= 2需要更大的參數來達到n ，所以其中k(x) >= n我們知道我們需要哪個x來得到我們想要的k(x) ，是反函數k^(-1) ， 2^x的反函數是log_2(x) 。