LCS 的蠻力方法及其時間復雜度 [O(m*n)!?]

Question

我已經閱讀了幾本算法書籍，其中被告知最長公共子序列的蠻力方法需要 2^n，這是時間復雜度的指數。 然而，我注意到，當我應用我的蠻力技術時，它需要 O(m n)（根據我的個人觀察）。 我想請您清楚地閱讀我的方法並在腦海中想象一下，如果需要，請提出問題以進一步澄清。 我的方法如下：- 假設我們有兩個字符串s1 = "ECDGI" ， s2 = "ABCDEFGHIJ"。 現在我正在做的是我選擇了給定的字符串之一。 比如說，s1。 對於 i = 1 到 n（ n是 s1 的最后一個索引），我取每個值並與 s2 進行比較，以便對於 s1 的單個字符，我正在檢查 s2 的所有字符。 從數學上講，第 i 個值正在檢查所有第 j 個值，直到 m（ m是 s2 的最后一個索引）。 在這里，如果我找到任何共同的字符，我就會從兩個字符串中移到下一個字符。 然后只需計算子序列。 我通過運行n 個循環來計算 s1 中每個字符的所有可能子序列。 最后，我計算最大值。 根據我的理解，它總體上需要 O(m n) 時間復雜度。 所以我的問題是， “我的時間復雜度計算是否正確？”

痕跡 ：

i = 1，值 = E，lcs = 3 [EGI]

i = 2，值 = C，lcs = 4 [CDGI]

i = 3，值 = D，lcs = 3 [DGI]

i = 4，值 = G，lcs = 2 [GI]

i = 5，值 = I，lcs = 1 [I]

答案是 = 4（最大 lcs）

我的代碼如下！

import java.util.*;
public class Main {
      static int count;
      static String s1 = "ECDGI"; // you can try with "EEE" or etc. 
      static String s2 = "ABCDEFGHIJ"; // you can try with "EEE" or etc.
  public static void main(String[] args) {
 LinkedList<Integer> ll = new LinkedList<>();
      for(int i =0; i<s1.length();i++){
      int t = i;
      count = 0; 
       for (int j=0; j<s2.length();j++){
         if(s1.charAt(t)==s2.charAt(j)){
           count++; 
            doIt(t+1,j+1);
            break ; 
        }
       }
        ll.add(count);
      }
      System.out.println(ll); // printing the whole LinkedList
      System.out.println(Collections.max(ll)); // taking the maximum value 
  }
  public static void doIt(int a, int b){
 for ( ; a<s1.length(); a++){
        int t = b ; 
        for (; t<s2.length(); t++){
          if (s1.charAt(a) == s2.charAt(t)){
           count++; 
           b=t+1; 
           break ; 
           }
        }
     }
  }

}

Answer 1

1. 你的算法是錯誤的。 考慮 s1 = "AABAA" 和 s2 = "AAAAB" 的情況，您的代碼給出 3，但 LCS 為 4。

2. 時間復雜度為 O(n * m * (n+m))

   • 為什么？

   • 好吧，讓我們考慮最壞的情況，其中 s1 是 n/2 個“A”字符和 n/2 個“B”字符，而 s2 是 m/2 個“A”字符和 m/2 個“C”字符

   • 現在如果我們忽略 doIt() 函數循環本身給 O(n * m)
   • 那么 doIt() 被調用了多少次呢？ 對於 s1 的所有 n/2 個第一個字符和 s2 的 m/2 對，所以 n/2 * m/2 次，或者如果我們刪除常數 O(n * m ) 次
   • 現在讓我們分析 doIt() 的復雜性
   • 它使用類似 2 個指針的東西來傳遞兩個字符串，所以它的復雜度是 O(n+m)
   • 所以總復雜度是 O(n * m * (n+m)) 或 O(n^2 * m + m^2 * n)