Prolog - 制作清單

Question

給定參數makelist(A,N,K,M,L) :- ，應該展開，如果A,N,K,M,L>0整數， M>=2且L列表，它應該返回true：

[A^N mod M , A^(N+1) mod M , A^(N+2) mod M , ... , A*(N+K) mod M]

預期成績 ：

| ?- makelist(10,2,1,10000,L).
L = [100,1000]
| ?- makelist(2,6,10,100,L).
L = [64,28,56,12,24,48,96,92,84,68,36]
| ?- makelist(12345678,3,8,100,L).
L = [52,56,68,4,12,36,8,24,72]
| ?- makelist(2,3000,5,7,L).
L = [1,2,4,1,2,4]
| ?- makelist(2,555000,5,17,L).
L = [1,2,4,8,16,15]
| ?- makelist(2,3000000,5,21,L).
L = [1,2,4,8,16,11]
| ?- makelist(142857,98765432,9,100,L).
L = [1,57,49,93,1,57,49,93,1,57]

我認為一個起點將通過取0到K的數字來實現指數(N+K)的K元素

bet(N, M, K) :- N =< M, K = N.
bet(N, M, K) :- N < M, N1 is N+1, bet(N1, M, K).


makelist(A,N,K,M,L) :- bet(0,K,(N+K)),

Answer 1

您可以從以下代碼開始：

makelist(A,N,0,M,[X]) :- X is mod(A^N,M).
makelist(A,N,K,M,[X|L]) :-  
        Max is N + K,
        N <  Max,
        N1 is  N + 1,
        K1 is K-1,
        X is mod(A^N, M),
        makelist(A, N1, K1, M, L).

然后應用更多約束，例如M>= 2 。

Answer 2

小指數的解決方案

模冪運算的一個眾所周知的特性表明：

x ^ n mod m =（ x mod m ）^ n mod m

因此，對於具有小指數的大型基數，您可以使用以下代碼：

makelist(A, N, K, M, L) :-
    A>0, N>0, K>0, M>0,
    K1 is N + K,
    findall(X, (between(N,K1,E), X is (A mod M)^I mod M), L).

以下是此代碼的一些解決方案：

?- makelist(10,2,1,10000,L).
L = [100, 1000].

?- makelist(2,6,10,100,L).
L = [64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84|...].

?- makelist(12345678,3,8,100,L).
L = [52, 56, 68, 4, 12, 36, 8, 24, 72].

?- makelist(2,3000,5,7,L).
L = [1, 2, 4, 1, 2, 4].

?- makelist(2,555000,5,17,L).
L = [1, 2, 4, 8, 16, 15].

?- makelist(2,3000000,5,21,L).
L = [1, 2, 4, 8, 16, 11].

請注意，如果不使用此類屬性，我們無法計算具有大指數的大型基數的答案：

?- X is 142857^98765432 mod 100.
ERROR: Stack limit (0.5Gb) exceeded

?- X is (142857 mod 100)^98765432 mod 100.
X = 1.

大指數的解決方案

但是，對於大型指數，此代碼效率非常低 。 例如：

?- time(makelist(142857,98765432,9,100,L)).
% 47 inferences, 115.328 CPU in -544348879559065600.000 seconds (?% CPU, 0 Lips)
L = [1, 57, 49, 93, 1, 57, 49, 93, 1|...].

因此，對於大指數n的最佳方法是使用以下定義：

• 如果n = 0，那么x ^ n = 1
• 否則，如果n = 1，則x ^ n = x
• 否則如果n是偶數，那么x ^ n =（ x ^ 2）^（ n / 2）
• 否則如果n是奇數，那么x ^ n = x *（ x ^ 2）^ floor（ n / 2）

通過這個定義，我們可以通過僅使用O（lg n ）乘法來計算x ^ n 。 基於它，我們可以定義以下謂詞：

fast_pow(X, N, M, P) :-
    (   N < 32
    ->  P is (X mod M)^N mod M
    ;   (   X1 is (X mod M)^2 mod M,
            N1 is N//2,
            fast_pow(X1, N1, M, P1),
            (   N mod 2 =:= 0
            ->  P is P1
            ;   P is (X mod M)*P1  mod M ) ) ).

fast_makelist(A, N, K, M, L) :-
    A>0, N>0, K>0, M>0,
    K1 is N + K,
    findall(P, (between(N,K1,E), fast_pow(A,E,M,P)), L).

現在，我們有：

?- time(fast_makelist(142857,98765432,9,100,L)).
% 1,704 inferences, 0.000 CPU in 0.000 seconds (?% CPU, Infinite Lips)
L = [1, 57, 49, 93, 1, 57, 49, 93, 1|...].