背包問題的近似算法不存在

Question

我正在進行以下練習：證明如果$ P \\ neq NP $，則不存在用於背包問題（KP）的近似算法$ A $，使得$ \\在\\ mathhbb {N}，\\ forall中存在k \\ I \\ in S：OPT（I）-P_A（I）\\ leq k $其中$ OPT（I）$是實例$ I $的最優利潤，$ P_A（I）$是$ A $計算的利潤。

我知道KP有一個FPTAS $ A'$，它可以保證在任何情況下$ I_和$$都有利潤$ P_ {A'}（I）\\ geq（1-\\ varepsilon）OPT（I）$的解決方案\\ varepsilon> 0 $。

我的方法是制造矛盾。 為此，我考慮$ A = A'$，目的是證明$ P_A（I）\\ geq（1-\\ varepsilon）OPT（I）\\ geq ... \\ geq OPT（I）-c $其中$ c \\ （0,1）$中的一個常量。 這樣，對於$ \\ varepsilon $的適當選擇，我將證明我們在多項式時間內獲得了最優解。 但是，我很難選擇$ \\ varepsilon $。

我需要一些有關如何進行的建議。 提前謝謝了！

Answer 1

矛盾更加微妙。

考慮通過增加I n倍項的所有值來從I派生的實例I' 。 最優利潤Opt(I')是Opt(I)最優利潤的n倍，並且這兩個問題的解決方案都由相同的一組項目構成（證明！）。

因此，如果A找到Opt(I') - k解，它也找到Opt(I) - k/n一個。 對於任何給定的eps ，使n足夠大，得出結論A將比Opt(I) * (1 - eps)更好地解決任何實例I

對於整數值，取n > k就足夠了。 對於真實值，您需要做更多的工作，即證明A'不是通用的，但必須取決於eps 。