IndProp：re_not_empty_correct

Question

Lemma re_not_empty_correct : forall T (re : @reg_exp T),
  (exists s, s =~ re) <-> re_not_empty re = true.
Proof.
  split.
  - admit. (* I proved it myself *)
  - intros. induction re.
    + simpl in H. discriminate H.
    + exists []. apply MEmpty.
    + exists [t]. apply MChar.
    + simpl in H. rewrite -> andb_true_iff in H. destruct H as [H1 H2].
      apply IHre1 in H1. apply IHre2 in H2.

這是我們到目前為止所得到的：

1 subgoal (ID 505)

T : Type
re1, re2 : reg_exp
H1 : exists s : list T, s =~ re1
H2 : exists s : list T, s =~ re2
IHre1 : re_not_empty re1 = true -> exists s : list T, s =~ re1
IHre2 : re_not_empty re2 = true -> exists s : list T, s =~ re2
============================
exists s : list T, s =~ App re1 re2

現在我需要將 H1 和 H2 組合到exists s : list T, s =~ App re1 re2或將目標分解為2 個子目標並分別使用H1 和H2 證明它們。 但我不知道，該怎么做。

Answer 1

您可以將exists視為包含值及其屬性的對類型。 就像普通的pair類型一樣，你可以destruct它。

例如，將destruct H1 as [s1 H1]. 在這一點上給出

s1 : list T
H1 : s1 =~ re1

鑒於此，考慮如何在滿足s =~ App re1 re2的目標中構造一個s 。 然后使用exists (your answer).的策略exists (your answer). （這會將目標更改為(your answer) =~ App re1 re2 ）並填寫其余的證明（如果您的s正確，則應該是微不足道的）。