IndProp：ev_plus_plus

Question

(** **** Exercise: 3 stars, standard, optional (ev_plus_plus)

    This exercise just requires applying existing lemmas.  No
    induction or even case analysis is needed, though some of the
    rewriting may be tedious. *)

Theorem ev_plus_plus : forall n m p,
  even (n+m) -> even (n+p) -> even (m+p).
Proof.
  intros n m p H1 H2.

這是我得到的：

1 subgoal (ID 89)

n, m, p : nat
H1 : even (n + m)
H2 : even (n + p)
============================
even (m + p)

我已經證明了先前的定理：

Theorem ev_ev__ev : forall n m,
  even (n+m) -> even n -> even m.

並想將其應用於H1，但是

apply ev_ev__ev in H1.

給出一個錯誤：

Error: Unable to find an instance for the variable m.

為什么even (n + m)表達式中even (n + m)找不到“ m”？ 怎么修？

更新

apply ev_ev__ev with (m:=m) in H1.

給出一個非常奇怪的結果：

2 subgoals (ID 90)

n, m, p : nat
H1 : even m
H2 : even (n + p)
============================
even (m + p)

subgoal 2 (ID 92) is:
 even (n + m + m)

我認為這會將H1轉換為2個假設：

H11 : even n
H12 : even m

但是取而代之的是給了2個子目標，我們需要證明的第二個子目標比最初的子目標更復雜：

even (n + m + m)

這里發生了什么事？

Answer 1

語句forall nm, even (n+m) -> even n -> even m. 並不意味着“如果我們擁有（n + m）為偶數，那么我們擁有n為偶數和m為偶數”（這是錯誤的，請考慮n = m = 1）。 相反，它的意思是“如果我們（n + m）為偶數，並且n為偶數，那么m為偶數”。

H12 : even m H1 : even (n + m)不可能假設H11 : even n和H12 : even m ，而沒有矛盾。 我建議在嘗試用Coq證明之前，先弄清楚如何用紙和筆證明您的定理。

Answer 2

因為Coq無法確定應為m賦予什么值。 您可以eapply ev_ev__ev in H1.應用策略eapply ev_ev__ev in H1. 並看到目標

  n, m, p : nat
  H2 : even (n + p)
  H1 : even ?m
  ============================
  even (m + p)

subgoal 2 (ID 17) is:
 even (n + m + ?m)

Coq用元變量？m實例化了m，最后您需要為該元變量提供見證以完成證明。

第二種方法是通過apply ev_ev__ev with (m := m) in H1.實例化m的值apply ev_ev__ev with (m := m) in H1.

您可以在軟件基金會https://softwarefoundations.cis.upenn.edu/lf-current/Tactics.html中看到更多有關戰術應用的信息

Answer 3

發生的事情是Coq用ev_ev__ev的even n參數而不是even (n+m)統一H1 。

您可以確切地告訴Coq您想要H1到達的位置，並使用_通配符表示讓Coq計算出詳細信息的位置。

您可能想要用even n -> even m類型的ev_ev__ev nm H1 ，但是您的apply產生了ev_ev__ev (n+m) m _ H1 ，這也給您提供了更多的證明依據。 要查看證明上下文，請執行

Check ev_ev__ev (n+m) m _ H1.