在分類理論中，兩個空集可以同構嗎？

Question

我是Haskell的初學者，我想創建一個函數來確定兩個列表之間是否存在同構。 我認為如果它們的長度相同> 0，答案是肯定的。

但是空集呢？ 空集之間可以有同構嗎？

謝謝。

Answer 1

當然，這取決於類別！

在標准類別SET中，其中的對象是集合，而箭頭A-> B是將B的元素與A的每個元素相關聯的函數，表示空集合的任何兩個對象之間肯定存在同構關系-實際上，它們是同一對象！

也可以想象一個類別，其中集合充實了附加的代數結構（以便從該類別到SET有一個明智的健忘函子），盡管健忘函子將兩個對象映射到兩個對象，但附加代數結構仍可以區分兩個對象空集，在這種情況下，它們之間可能沒有同構。

Answer 2

在Haskell中，我們通常將類型視為類別中的對象，而不是單個值。 除非我們定義列表是對象的“自定義”類別，否則詢問一個列表（一個值）是否與其他列表同構是沒有意義的。 在后一種情況下，答案取決於我們如何定義類別。

無論如何，在集合的類別中，給定任何集合A ，從空集合{}到A恰好有一個函數（態射） f : {} -> A 這是具有空域的唯一功能，恰好與空集重合。 為了幫助理解這一點，請記住函數f : X -> Y是一組對

f = {(x0,y0),(x1,y1),....}
  with x0,x1,... in X, and y0,y1,... in Y

這樣

for any x in X there is a unique y in Y satisfying (x,y) in f

當X = {} ，我們不能x0,x1,... in X選擇x0,x1,... in X ，因此唯一的選擇是讓f = {} ，即“空對對”。 f是一個函數，因為條件降低到

for any x in {} .......

這是一個虛無的事實，因為對空集的普遍量化始終是正確的。

因此，對於任何A ，只有一個函數f : {} -> A 即使A = {}也是如此，在這種情況下， f : {} -> {}也是同構的。 實際上，我們有f = id （因為沒有其他函數！）和f . f = f = id f . f = f = id （因為沒有其他函數！），因此f是其自身的逆。