有沒有一種方法可以使用 Floyd-Warshall 算法給出最短路徑，其中存在負權重循環而不允許重疊邊緣？

Question

我們知道，如果圖中出現負權重循環，Floyd-Warshall 算法的結果是無效的，這是因為在負權重循環上多次旅行使得權重和任意小。 然而，如果我們指定不允許重復的邊被移動，那么權重總和是正確的。 我想知道一種在這種情況下產生最小權重總和的方法。 已經嘗試了對該算法的一些修改（包括在從某個頂點到自身的權重總和為負時跳過循環）但前一個矩陣仍然很奇怪，權重總和矩陣完全沒有用（我偶然知道一個指數增加它的價值將不可避免地發生，見鏈接）。

Answer 1

該問題的有效解決方案意味着 P=NP，因此幾乎可以肯定沒有這樣的解決方案。

使用多項式時間解決您的問題，您可以通過將所有邊權重設置為 -1 並要求兩個節點之間的最短路徑來解決最長路徑問題。

正如 Marzio De Biasi 在鏈接帖子中所證明的那樣，最長路徑問題的解決方案可用於解決最大度數為 3 的網格圖上的哈密頓循環問題，方法是將兩個新節點連接到左上角的節點並要求最長的足跡。

當限制為最大度數為 3 的網格圖時，哈密頓循環問題仍然是 NP 完全問題，正如 Christos H Papadimitriou、Umesh V Vazirani 所證明的，關於與旅行商問題相關的兩個幾何問題，算法雜志，第 5 卷，第 2 期，1984 年 6 月，第 231-246 頁，ISSN 0196-6774。

因此，您的問題是 NP-hard 問題。