Karatsuba RecursionError：調用Python對象時超出了最大遞歸深度

Question

我正在嘗試在Python上實現Karatsuba乘法。 輸入是長度為2的兩個整數。它們的長度相同。

def mult(x,y):
    if int(x) < 10 and int(y) <10:
        return int(x)*int(y)
    x_length = len(str(x))//2
    y_length = len(str(y))//2

    a = str(x)[:x_length]
    b = str(x)[x_length:]
    c = str(y)[:y_length]
    d = str(y)[y_length:]

    n = len(a) + len(b)
    m = n//2

    return 10**n* mult(a,c) + 10**m*(mult(a+b, c+d)-mult(a,c)-mult(b,d)) + mult(b,d)

運行mult(1234,5678)這將產生以下錯誤：

if int(x) < 10 and int(y) <10:
RecursionError: maximum recursion depth exceeded while calling a Python object

但是如果我這樣做

def mult(x,y):
    if int(x) < 10 and int(y) <10:
        return int(x)*int(y)
    x_length = len(str(x))//2
    y_length = len(str(y))//2

    a = str(x)[:x_length]
    b = str(x)[x_length:]
    c = str(y)[:y_length]
    d = str(y)[y_length:]

    n = len(a) + len(b)
    m = n//2

    return 10**n* mult(a,c) + 10**m*(mult(a,d)+mult(b,c)) + mult(b,d)

所以我在最后一行執行4次遞歸（即mult(a,c), mult(a,d), mult(b,c), mult(b,d) ），而不是上面的3次遞歸（即mult(a,c), mult(a+b, c+d), mult(b,d) ）。

事實證明還可以。

為什么會這樣呢？ 而且只有3個遞歸怎么辦？

Answer 1

a, b, c, d是字符串。 字符串加法是串聯。 "1" + "2"為"12" 。 因此，傳遞給mult(a+b, c+d)的不是您打算傳遞的。

---

TL; DR。

首先，遞歸應該很快終止。 讓我們看看為什么不這樣。 在mult的開頭添加print x, y ：

def mult(x, y):
    print x, y
    ....

並將輸出重定向到文件中。 結果令人驚訝：

1234 5678
12 56
1 5
12 56
1 5
12 56
1 5
12 56
1 5
....

難怪堆棧溢出。 問題是，為什么我們重復12 56例？ 讓我們添加更多工具，以找出哪個遞歸調用可以做到：

def mult(x,y,k=-1):
    ....
    print a, b, c, d
    ac = mult(a, c, 0)
    bd = mult(b, d, 2)
    return 10**n* ac + 10**m*(mult(a+b, c+d, 1) - ac - bd) + bd

結果是

-1 :  1234 5678
12 34 56 78
0 :  12 56
1 2 5 6 
0 :  1 5
2 :  2 6
1 :  12 56
1 2 5 6 
0 :  1 5
2 :  2 6
1 :  12 56
1 2 5 6 
0 :  1 5
2 :  2 6
1 :  12 56

您可以看到標記為1的遞歸調用總是得到12 56 。 它是計算mult(a + b, c + d)的調用。 那好吧。 它們a, b, c, d都是字符串。 "1" + "2"為"12" 。 不完全是您的意思。

因此，請確定：參數是整數還是字符串，並相應地對待它們。

Answer 2

請注意，在您的第一個代碼段中，您不是三次調用函數，而是調用5次：

return 10**n* mult(a,c) + 10**m*(mult(a+b, c+d)-mult(a,c)-mult(b,d)) + mult(b,d)

對於其余的代碼，我還不能說清楚，但是快速瀏覽一下Karatsuba上的Wikipedia條目，您可以通過增加所使用的基數（即從10到100或1000）來減少遞歸深度。 您可以使用sys.setrecursionlimit更改遞歸深度，但是python堆棧框架可能會變得很大，因此請避免這樣做，因為這樣做可能很危險。