在MATLAB中編寫遞歸

Question

我一直試圖嘗試編寫一個MATLAB算法來反向計算遞歸，或者這對我來說似乎就是卡住了。 y_n =（1 / n）−10 * y_n−1，其中n = 1，...，30在MATLAB中有效，但是由於（* 10），舍入誤差使算法不穩定，並且沒有用。 僅通過操縱遞歸，y_n-1 =（1/10）（1 / n-y_n）就可以工作，並且舍入誤差將在每個步驟中減少10倍，這可能使它成為一種穩定的算法。

幾天后，我仍然無法理解編寫此代碼所需的邏輯。 評估y_n-1確實使我陷入循環。 我能夠解決不穩定的算法，但是我想不出處理代碼以使其正常工作的邏輯。 我的問題在於如何在MATLAB中編寫代碼？ 我真的很沮喪。

% Evaluate the integral yn = integral from 0 to 1 of x^n/(x+10).
% Unstable algorithm:
y(1) = log(11) - log(10);
k = 30;
for n = 1:k
    y(n+1) = (1/n) - 10*y(n);
end
n_vector = 0:k;
[n_vector;y] 

通過操縱遞歸，由於誤差的限制，結果將接近真實值。 當前輸出：

0.0953101798043248 
0.0468982019567523 
0.0310179804324768 
0.0231535290085650 
0.0184647099143501 
0.0153529008564988 
0.0131376581016785 
0.0114805618403582 
0.0101943815964183 
0.00916729514692832 
0.00832704853071678 
0.00763860560192312 
0.00694727731410218 
0.00745030378205516 
-0.00307446639198020 
0.0974113305864686 
-0.911613305864686 
9.17495658805863 
-91.6940103250307 
916.992734829255 
-9169.87734829255 
91698.8211019731 
-916988.165565185 
9169881.69913012 
-91698816.9496345 
916988169.536345 
-9169881695.32499 
91698816953.2869 
-916988169532.833 
9169881695328.37 
-91698816953283.7

在考慮了舍入誤差的情況下，預期結果將保持在0到1之間。

Answer 1

您得到的輸出是正確的，並且正如Mad Physicist的評論所指出的那樣，您具有的遞歸函數應該以這種方式運行。

如果查看兩個項的行為，則隨着n變大，初始減法將對10 * y（n）項的影響較小。 因此，對於大n，我們可以忽略1 / n。

然后，在n大的情況下，我們期望每個步驟將使我們的價值增加大約10倍。這就是您在輸出中看到的。

至於寫一個向后遞歸。 根據定義，您需要一個起始值，因此您需要假設y（30）並按照注釋中的建議向后運行遞歸。

Answer 2

因此，我能夠通過自己的問題回答。 所需的代碼如下所示：

% This function calculates the value of y20 with a guarantee to have an 
% absolute error less than 10^-5
% The yn1 chosen to be high enough to guarantee this is n1 = 25
% Returns the value of y(20)

function [x]= formula(k)

% RECURSION APPROXIMATION
y(k) = 0;
n = k:-1:20;
y(n-1) = (1./10)*(1./n - y(n));
x = y(20);

% FURTHER:  I needed to guarantee y20 to have <= 10^-5 magnitude error
% I determined n=25 would be my starting point, approximating y25=0 and working
% backwards to n=20 as I did above.

%  y(n-1)=1/10(1/n-yn)    “exact solution”
%  (yn-1)*=1/10(1/n-(yn)*)    “approximate solution with error”
%  y(n-1)-(y(n-1))*=1/10(1/n-yn)-1/10(1/n-(yn)*)   calculating the error
%              = 1/10((yn)*-yn)
%  So,
%  E(n-1)=1/10(En)
%  E(n-2)=1/100(E(n-1))
%  E(n-3)=1/1000(E(n-2))
%  E(n-4)=1/10000(E(n-3))
%  E(n-5)=1/100000(E(n-4)) ⇒ 10^(-5)
%  En20=(10^-5)En25
%  Therefore, if we start with n1=25, it guarantees that y20 will have 10^-5 magnitude of % the initial propagating error.