證明遞歸行列式的復雜性

Question

我想證明為什么拉普拉斯行列式或遞歸算法復雜度為n! . 誰能為我證明？ 我不知道那怎么會是n! ，假設方程T(n)=nT(n-1)+3n-1只涉及乘法和加法。

Answer 1

嘗試擴展：

T(n) = n T(n-1) + 3n-1 = 
       n ((n-1)T(n-2) + 3(n-1)-1) + 3n-1 =
       n (n-1) T(n-2) + 3 n (n-1)  - n + (3n - 1)

現在通過歸納，您可以證明（如果T(1) = 1 ）：

T(n) = n (n-1) (n-2) ... 1 + 3(n + n (n-1) + ... + n!) - 
      (1 + n + n (n-1) + ... + n (n-1) ... n * (n-1) * ... * (n-2)) 
     = Theta(n!)