遞歸算法的時間復雜度

Question

我有一個帶有x邊字段的網格。 每個字段都包含一個指向x個周圍字段的鏈接。 [ x是常數 ]

我有一個在此領域中實現的算法（可能可以對其進行優化）：

[類似於偽代碼的Java]

public ArrayList getAllFields(ArrayList list) {

  list.addToList(this);

  for each side {
    if ( ! list.contains(neighbour) && constantTimeConditionsAreMet()) {
      neighbour.getAllFields(list) //Recursive call
    }
  }

  return list;

}

我很難找到時間的復雜性。

ArrayList#contains(Object)在線性時間內運行

如何找到時間復雜度？ 我的方法是這樣的：

T(n) = O(1) + T(n-1) +
c(nbOfFieldsInArray - n) [The time to check the ever filling ArrayList]

T(n) = O(1) + T(n-1) + c*nbOfFieldsInArray - cn

這會給我T(n) = T(n-1) + O(n)嗎？

Answer 1

您添加到代碼中的注釋沒有幫助。 getContinent什么作用？

無論如何，由於對列表中的每個潛在加法都使用了線性搜索（ ArrayList.contains ），因此看起來復雜度將為Omega（n ^ 2）。

Answer 2

您的復發似乎是正確的T(n) = T(n-1) + theta(1) 。

如果您繪制遞歸樹，您會發現您有一個分支，值分別為theta(n-1), theta(n-2), ..., theta(2), theta(1)獲得算術級數1 + 2 + 3 + ... + n的所有級別

S1 = 1+2+3+...+n

如果您定義

S2 = n+...+3+2+1

然后計算出S1+S2

S1 + S2 = 2*S1 = (n+1) + (n+1) + ... + (n+1) = n(n+1)

因此

2*S1 = n(n-1) => S1 = n(n-1)/2

這意味着T(n) = 1/2 theta(n(n-1)) = 1/2 theta(n^2) = theta(n^2)