如果向無向加權圖 G 添加新邊，則查找 MST T 是否仍然是新圖 G' 的 MST

Question

這是一個審查問題，我試圖了解我的答案是否正確。

這是原始問題的要點：

您有一個加權無向圖的 MST，T，然后在節點（u 和 v）之間的原始圖中引入一條新邊以創建一個新圖 G'。 給出一個線性時間算法來確定 T 是否是 G' 的 MST。

我的答案：

原始圖的 MS T T 不包含任何循環。 從節點 u 到節點 v 應該只有一條路徑。我們可以將新邊添加到我們的 MST 中，這可以在 O(1) 時間內完成以生成我們的新樹 T'。 然后，我們可以在 T' 上從 u 到 v 運行 DFS，在 O(|V| + |E|) 時間內完成。 添加新邊后，我們應該在 u 和 v 之間獲得最多 2 條路徑。一條將使用新邊，一條不使用。 我們可以在 O(1) 時間內比較這兩條路徑。 如果兩者中較短的一個使用新邊，那么我們知道原始 MST“T”不是新圖 G' 的 MST。 我們的整個算法將在線性時間內完成。

Answer 1

這是一個正確的算法，並且您已經證明，如果它找到較輕的樹，那么舊樹就不是最小的。 你仍然需要證明，如果它沒有找到更輕的樹，那么老樹仍然是最輕的。