證明不是大歐米茄？

Question

我試圖證明k(n ^2) 不是 2^ n的大歐米茄，其中k是正實數。 我看過Big Omega的否定。 所以我試圖找到一個大於或等於一些n0的n也滿足k ( n ^2) < (2^ n ) c其中c是一個正實數。

我嘗試選擇 n 其中 n = 2^ n0這使得n ^2 = 2^ n但問題是要使不等式起作用， k必須小於c並且我不能選擇什么k和c是。 我試圖通過取雙方的對數來解決不等式中的 n 但我最終得到 log( b ) - log( c ) < 2log( n ) + n log(2) 我不完全正確確定在這種情況下如何隔離n 。 任何提示將不勝感激

Answer 1

對於真正的證明，總是從定義開始。

k(n^2) 是 OMEGA(2^n) 當且僅當存在兩個常數 c>0 和 d>0 使得對於所有 n > d，k(n^2) > c(2^ n)。

為了證明是否定的，你幾乎總是最好使用矛盾。 假設您要證明的內容是正確的，並從邏輯上推斷出顯然是錯誤的斷言。

因此，假設 k(n^2) 是 OMEGA(2^n)，因此如上所述的 c 和 d 確實存在。

然后我們知道

For all n > d, n^2 > (c/k)(2^n)

和

For all n > d, 2 log_2 n > log_2(c/k) + n

為了證明這很荒謬，選擇 n = c/k。

rest 緊隨其后的是代數，如果你真的想要徹底一點微積分的話。 我會讓你解決的。 提示。

Answer 2

假設 kn^2 是 Omega(2^n)。 那么對於 n >= n0 和正常數 c，k*n^2 >= c*2^n。 除以 RHS（我們可以這樣做，因為它必須是正數），我們得到 (k/c)n^2/2^n >= 1。考慮當 n 接近無窮大時 LHS 的極限：

  lim(n->inf) (k/c)n^2/2^n              LHS
= (k/c) lim(n->inf)n^2/2^n              lim cf(x) = c lim f(x)
= (k/c) lim(n->inf)2n/((ln2)2^n)        l'Hopital's rule
= (k/c)(2/ln2) lim(n->inf)n/2^n         lim cf(x) = c lim f(x)
= (k/c)(2/ln2) lim(n->inf)1/((ln2)2^n)  l'Hopital's rule
= (k/c)(2/(ln2)^2) lim(n->inf)1/2^n     lim cf(x) = c lim f(x)
= 0                                     lim 1/f(x) = 0 if lim f(x) -> inf

LHS 增加 n 的極限為零。 因此，對於零附近的任何區間，都有一個 n 將 LHS 的值置於該區間內。 選擇區間為 0.5。 然后有一個 n 使不等式為假。 剩下的就是證明 LHS 代表 n 的單調遞減 function； 我們可以計算導數：

  d/dn (k/c)n^2/2^n                           LHS
= (k/c) d/dn n^2/2^n                          d/dx cf(x) = c d/dx f(x)
= (k/c) d/dn (n^2)(2^-n)                      1/2^x = 2^-x
= (k/c) (d/dn n^2)(2^-n) + (n^2)(d/dn 2^-n)   product rule of differentiation
= (k/c) (2n)(2^-n) + (n^2)((-ln2)(2^-n))      d/dx x^k = kx^(k-1), chain rule
= (k/c) [(-ln2)n^2 + 2n]/(2^n)                algebraic rearrangement

每當 (-ln2)n^2 + 2n < 0...

(-ln2)n^2 + 2n < 0
((-ln2)n + 2)n < 0
(-ln2)n + 2 < 0
(ln2)n > 2
n > 2/ln(2)

這意味着至少對於 n > 4，function 是單調遞減的。 如果假設的n0 大於4，則沒有問題。 如果假設的 n0 小於 4，我們可以自由地將 n0 重新分配給 n0' = 5，因為 n0 的選擇並不重要，只要它有效。