是否有一種算法可以在有向根樹（樹狀樹）中找到最小成本路徑？

Question

更具體地說：我有一個有根的樹，它表示矩陣從第一個元素到最后一個元素的不同路徑，只允許向右、向下和對角向下移動。 因此，每個節點最多可以有 3 個子節點。 樹將矩陣的第一個元素作為其根，每個最后一個節點將是矩陣的最后一個元素。 每個節點代表一個成本。

這是我正在談論的樹類型的示例：

這里的最小成本路徑是：“坐標”中的1 -> 2 -> 9或[0,0,2]

那么是否有任何算法能夠找到這種樹的最小成本路徑（我的意思是路徑而不是最小成本路徑的總成本）？
如果是，是否可以以遞歸方式實現它？

Answer 1

這可以在 O( n ) 時間內完成，其中n是節點數。 解決方案是遞歸的：

• 葉節點的最小成本路徑是微不足道的——它只是節點本身，具有節點自己的成本。

• 要找到內部節點的最小成本路徑，對其所有子節點進行遞歸調用，並為其最小成本路徑選擇成本最低的子節點。 路徑的成本等於節點自身的成本加上該子節點的路徑成本。

要恢復路徑，只需從函數中返回成本和路徑。 遞歸情況必須使用當前節點擴展路徑。

總運行時間為 O( n )，因為為內部節點完成的非遞歸工作與子節點的數量成正比。 運行時間不能漸近改進，但可以在實踐中使用分支定界算法進行優化，該算法跟蹤迄今為止的最低成本路徑，並拒絕超過它的路徑。

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這是 Python 中的一個示例：

class Node:
    def __init__(self, cost, children=()):
        self.cost = cost
        self.children = children
    def __repr__(self):
        return 'Node({})'.format(self.cost)

root = Node(1, (
    Node(2, (
        Node(5, (Node(9),)),
        Node(6, (Node(9),)),
        Node(9),
    )),
    Node(3, (
        Node(8, (Node(9),)),
        Node(9),
    )),
    Node(4, (Node(9),)),
))

def min_cost_path(node):
    if not node.children:
        return [node], node.cost
    else:
        # list of (path, cost) pairs
        options = [min_cost_path(c) for c in node.children]
        path, cost = min(options, key=lambda option: option[1])
        path.append(node)
        return path, cost + node.cost

例子：

>>> path, cost = min_cost_path(root)
>>> path
[Node(9), Node(2), Node(1)]
>>> cost
12

請注意，路徑以相反的順序返回。