為什么兩個 numpy (n,) 向量的矩陣@乘積是點積，而不是外積？

Question

如果我有 x.shape = (n,) 和 y.shape = (n,)，則 x @ y 返回它們的點積，而不是它們的外積。 我想知道這是否有一些潛在的原因，或者是否只是為了方便。

謝謝。

Answer 1

Function np.matmul是在將@運算符引入 Python 時添加的。 新的 function 被設計為與np.dot相似，合理。

那么為什么np.dot(vector, vector)執行內積呢？

在@之前，function np.dot用於在 numpy 中執行矩陣代數。 實際上，線性代數中的向量不是一維 arrays 而是其中一個維度設置為 1 的矩陣。為了將一維數組乘以矩陣，必須以某種方式將前者提升為行向量或列向量。 我們這里有3個案例：

• 逐個矩陣的向量，一維數組被提升為行向量（1xN）以使操作有效
• 矩陣逐個向量，一維數組被提升為列向量 (Nx1)
• 一個向量一個向量，左操作數被提升為行向量，右操作數被提升為列向量，和前面的兩種情況一樣

作為最后一種情況的結果，我們在兩個向量之間有一個正常的內積。 這個策略既合乎邏輯又實用，因為內積的使用頻率更高。

Answer 2

dot product的維基文章將其定義為

在代數上，點積是兩個數字序列的相應條目的乘積之和。

（它多次提到inner product ，但沒有提到outer產品。）

如果您將 1d arrays 視為數字序列，那么A@B作為點積是自然的。

二維矩陣積可以描述為 A 的所有行與 B 的列的dot product 。

matmul和dot中的關鍵術語是“產品的總和”。

對於一維數組， np.sum(A*B)是乘積和的另一個表達式，其中*是元素乘法。

帶有 (1,n) 的 (m,1) @ 確實會產生 (m,n) 外積，但這實際上是在共享大小 1 維度上減少的二維矩陣積。

我們不需要“積和”機制來做兩個一維 arrays 的outer積：

In [29]: np.array([1,2,3])[:,None] * np.array([10,100])                         
Out[29]: 
array([[ 10, 100],
       [ 20, 200],
       [ 30, 300]])
In [30]: np.array([1,2,3])[:,None] @ np.array([10,100])[None,:]                 
Out[30]: 
array([[ 10, 100],
       [ 20, 200],
       [ 30, 300]])