找到一個值的子集的最佳近似值

Question

我想獲得一種算法，該算法可為我提供基於子集的值的最佳近似值。

這是一個例子：

N = 45

subset = [25,10,65,9,8]

output: [25,10,9]

重要的一點是算法必須給出最好的近似值（不管最終結果中元素的個數）。 結果必須提供給出最接近精確值的關聯（但不能超過初始值）。

您知道可以用最少的時間成本做到這一點的算法嗎？

非常感謝你的幫助。

Answer 1

你不能在多項式時間內這樣做（除非 P=NP）

找出是否存在總和恰好為 N 的子集顯然比找到總和最接近 N 的子集更容易，前一個問題稱為子集和，已知是 NP 完全問題。

然而，偽多項式時間是可能的。 事實上，如果我們將subset中的值同時作為 weights 中的值以轉換為背包，則您的問題完全等於0/1 背包優化問題。 這個 0/1 背包問題有一個在O(nW)中運行的動態規划解決方案，其中n是subset的項目數， W是目標，在您的代碼中是N

Answer 2

以下代碼適用於短列表。 然而，對於較長的列表，性能會顯着降低：

import itertools
def closest(my_list, my_number):
    l=[]
    for i in range(1,len(my_list)+1):
        for k in itertools.combinations(my_list, i):
            l.append([k, sum(k)])
    l=[i for i in l if i[1]<=my_number]
    l.sort(key=lambda x:x[1])
    return l[-1]
print(closest(subset, 45)[0], closest(subset, 45)[1])

Output：

(25, 10, 9) 44