證明復雜性證明的順序

Question

證明如果 f(n) 是 Ω(n∗g(n))，那么 f(n) 不是 O(g(n))。

假設 f(n) 是 Ω(n ∗ g(n)) 並且 f(n) 是 O(g(n))。 想表現出矛盾。 該方法是找到違反定義的 n 值。 證明：f(n) 是 Ω(n ∗ g(n)) 意味着存在正值 C 和 k，使得 n > k 意味着 f(n) ≥ C ∗ n ∗ g(n)。 f(n) 是 O(g(n)) 意味着存在正值 C' 和 k' 使得 n > k' 意味着 f(n) ≤ C ∗ g(n)。

Answer 1

假設如下：Omega 表示下界復雜度，Big Oh 表示上界復雜度，使用兩者的定義解決這個問題。

如果 f(n) 是 Omega(n*g(n)) 那么這意味着（根據定義）存在一個 n ₀和一個 M ₀ ，這樣對於所有 n > n ₀ ， f(n) > M ₀ * n * g(n)。

如果 f(n) 是 O(g(n)) 那么這意味着（根據定義）存在 n ₁和 M ₁ ，這樣對於所有 n > n ₁ ， f(n) < M ₁ * g (n)。

讓 n ₂ = max(n ₀ , n ₁ )，然后對於所有 n > n ₂ ，M ₁ * g(n) > f(n) > M ₀ * n * g(n)。

我們現在將關注兩個復雜性，而不是函數。 我們有 M ₁ * g(n) > M ₀ * n * g(n)，因此 M ₁ > M ₀ * n，因此 n < M ₁ /M ₀ 。

現在，無論 M ₁和 M ₀取什么值，對於所有 n > n ₂ ，n < M ₁ /M ₀都不是真的，如果我們假設兩個復雜性都是正確的，這是必要的。

因此，我們得出了一個矛盾，因此這兩種復雜性不可能同時成立。

祝你學業順利。