如何在python中找到pow(a,b,c)的指數

Question

python 中的pow(a,x,c)運算符返回(a**x)%c 。 如果我有 a、c 的值和這個操作的結果，我如何找到 x 的值？

另外，這是我擁有的所有信息

pow(a,x,c) = pow(d,e,c)

我知道 a、c、d 和 e 的值的地方。

這些數字非常大（a = 814779647738427315424653119, d = 3, e = 40137673778629769409284441239, c = 122333444455565576777777777777777767776777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777677777777767767777767777767777767767777677767776

我知道可用於求解 a 的Carmichael lambda 函數，但我不確定這是否和/或如何適用於求解 x。

任何幫助將不勝感激。

Answer 1

正如@user2357112 在評論中所說，這是離散對數問題，對於大 c 來說計算非常困難，並且沒有已知的快速通用解決方案。

但是，對於小c，您仍然可以做一些事情。 鑒於 a 和 c 互質，存在指數 k < c，使得 a^k = 1 mod c，之后冪重復。 讓 b = a^x。 因此，如果您通過計算 a 的所有冪直到得到 b 來強制執行它，則您最多必須循環 c 次：

def do_log(a, b, c):
    x = 1
    p = a
    while p != b and p != 1:
        x += 1
        p *= a
        p %= c
    if p == b:
        return x
    else:
        return None # no such x

如果使用相同的 a 多次運行此計算，則可以做得更好。

# a, c constant
p_to_x = {1: 0}
x = 1
p = a
while p != 1:
    p_to_x[p] = x
    x += 1
    p *= a
    p %= c

def do_log_a_c(b):
    return p_to_x[b]

這里的緩存是在最多運行 c 次的循環中創建的，並在日志函數中訪問緩存。