如何在假設中應用構造函數？

Question

我試圖證明以下定理

Theorem subseq_subset : forall l1 l2, subseq l1 l2 -> sublist l1 l2.

使用感應類型 subseq ：

Inductive subseq {A:Type} : list A -> list A -> Prop :=
| SubNil   : forall (l:list A), subseq  nil l
| Sub_both : forall (s l:list A) (x:A), subseq  s l -> subseq s (x::l)
| Sub_right : forall (s l: list A) (x:A), subseq s l -> subseq (x::s) (x::l). 

和子列表的定義：

 Definition sublist (l1 l2 : list A) : Prop := forall x : A, In x l1 -> In x l2.

這是我開始做的證明

Theorem subseq_subset : forall l1 l2, subseq l1 l2 -> sublist l1 l2.
Proof.
intros.

unfold sublist. intros.
induction l2.
+ inversion H in H0. simpl. simpl in H0. assumption.
+ apply in_cons. apply IHl2.
Qed.

我現在有這個背景

1 subgoals
l1 : list A
a : A
l2 : list A
H : subseq l1 (a :: l2)
x : A
H0 : In x l1
IHl2 : subseq l1 l2 -> In x l2
______________________________________(1/1)
subseq l1 l2

我想在 H 上應用 sub_right，所以我可以用假設結束證明，但apply sub_right in H不起作用。 這可能嗎？ 我怎樣才能結束這個證明？

謝謝。

Answer 1

首先請注意，您說明了定義

Inductive subseq {A:Type} : list A -> list A -> Prop :=
| SubNil   : forall (l:list A), subseq  nil l
| Sub_both : forall (s l:list A) (x:A), subseq  s l -> subseq s (x::l)
| Sub_right : forall (s l: list A) (x:A), subseq s l -> subseq (x::s) (x::l).

對分支使用大寫字母，因此它將apply Sub_right in H 。 此外，我認為您切換了both分支和right分支。 對於這個答案的其余部分，我將假設定義是

Inductive subseq {A:Type} : list A -> list A -> Prop :=
| subNil   : forall (l:list A), subseq  nil l
| sub_right : forall (s l:list A) (x:A), subseq  s l -> subseq s (x::l)
| sub_both : forall (s l: list A) (x:A), subseq s l -> subseq (x::s) (x::l).

現在到你的實際問題。 當你說apply sub_right in H不起作用時，你得到什么錯誤信息？ Coq 告訴我它找不到x 。 這是有道理的：如果你申請的是有一個定理x上右手邊，無x上的左手側，然后勒柯克無法猜測其x使用。 您可以通過apply (sub_right _ _ x) in H說apply (sub_right _ _ x) in H來明確選擇一個x 。

也就是說，我不知道如何從你所在的地方完成你的證明。 我認為你需要一個歸納假設。 例如，如果您試圖證明subseq l1 (x :: l2) -> sublist l1 (x :: l2) ，那么知道subseq l1 l2 -> sublist l1 l2會很好。 您可以通過在 subseq l1 l2 的證明上使用歸納而不是在列表之一上來實現這一點：

intros l1 l2 subseql1l2.
unfold sublist.
induction subseql1l2.
...

這為您提供了三個很好的案例，可以直觀地看到它們是真實的。 為了證明它們，您需要一些關於In和列表的事實，您可以使用例如Search In (_ :: _).來查找這些事實Search In (_ :: _).