運行 max(n,0) 次的算法的 Big-O 表示法？

Question

我有以下算法：

for(int i = 1; i < n; i++)
    for(int j = 0; j < i; j++)
        if(j % i == 0) System.out.println(i + " " + j);

這將運行max(n,0)次。

Big-O 表示法是O(n)嗎？ 如果不是，那是什么，為什么？

謝謝你。

Answer 1

您還沒有說明您要使用 Big-O 表示法測量什么。 讓我們假設它的時間復雜度。 接下來，我們必須定義要衡量復雜性的因變量。 這里一個合理的選擇是n的絕對值（與位長相反），因為您正在處理固定長度的int而不是任意長度的整數。

您是對的println執行 O(n) 次，但這是計算某行被命中的頻率，而不是測量時間復雜度。

很容易看出if語句被擊中了O(n^2)次，所以我們已經確定時間復雜度由Omega(n^2)從下限開始。 正如評論者已經指出的那樣，if 條件僅對j=0 ，所以我懷疑您實際上是想寫i % j而不是j % i ？ 這很重要，因為println(i + " " + j)語句的時間復雜度肯定不是O(1) ，而是O(log n) （您不可能在少於x步的時間內打印x字符），所以乍一看，整體復雜度有可能嚴格比O(n^2) 。

假設您打算寫i % j我們可以簡化假設條件始終為真，在這種情況下，我們將獲得上限O(n^2 log n) ，這嚴格比O(n^2) ！

但是，請注意n的除數的數量受O(Sqrt(n)) ，我們實際上有O(n^2 + n*Sqrt(n)*log(n)) 。 但由於O(Sqrt(n) * log(n)) < O(n) ，這相當於O(n^2) 。

您可以深入研究數論以找到更嚴格的除數范圍，但這並沒有什么區別，因為n^2仍然是主導因素。

所以最嚴格的上限確實是O(n^2) ，但它並不像乍一看那樣明顯。

Answer 2

max(n,0)確實是O(n) 。 但是，您的算法在O(n**2) 。 您的第一個循環進行了n次，第二個循環進行了i次，平均為n/2 。 這使得O(n**2 / 2) = O(n**2) 。 但是，與算法的運行時不同，達到println的次數在O(n) ，因為這恰好發生了n次。

因此，答案取決於您究竟要測量什么。