Python 的歐拉法

Question

我想近似 dy/dx = -x +1 的解，在 0 到 2 的區間上使用歐拉法。我正在使用這段代碼

def f(x):
    return -x+1  # insert any function here


x0 = 1  # Initial slope #
dt = 0.1  # time step
T = 2  # ...from...to T
t = np.linspace(0, T, int(T/dt) + 1)  # divide the interval from 0 to 2 by dt
x = np.zeros(len(t))
x[0] = x0 # value at 1 is the initial slope
for i in range(1, len(t)):  # apply euler method
    x[i] = x[i-1] + f(x[i-1])*dt

plt.figure()  # plot the result
plt.plot(t,x,color='blue')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('y(t)')


plt.show()

我可以使用此代碼在任何時間間隔內逼近任何 function 的解決方案嗎？ 很難看出這是否真的有效，因為我不知道如何 plot 實際解決方案（ -1/2x^2 + x ）沿着近似值。

Answer 1

如果您始終為同一角色使用相同的變量名，這可能會有所幫助。 根據您的 output，解決方案是y(t) 。 因此，您的微分方程應該是dy(t)/dt = f(t,y(t)) 。 這將給出斜率 function 及其精確解決方案的實現

def f(t,y): return 1-t

def exact_y(t,t0,y0): return y0+0.5*(1-t0)**2-0.5*(1-t)**2

然后將歐拉循環也作為單獨的 function 實現，盡可能保留問題的具體細節

def Eulerint(f,t0,y0,te,dt):
    t = np.arange(t0,te+dt,dt)
    y = np.zeros(len(t))
    y[0] = y0 
    for i in range(1, len(t)):  # apply euler method
        y[i] = y[i-1] + f(t[i-1],y[i-1])*dt
    return t,y

然后 plot 解決方案為

y0,T,dt = 1,2,0.1
t,y = Eulerint(f,0,y0,T,dt)
plt.plot(t,y,color='blue')
plt.plot(t,exact_y(t,0,y0),color='orange')

Answer 2

您可以使用 plot 實際解決方案：

def F(x):
   return -0.5*x+x

# some code lines

plt.plot(t,x,color='blue')
plt.plot(t,F(t),color='orange')

但請注意，實際解決方案 (-1/2x+x = 1/2x) 與您的斜率f(x)不對應，並且會顯示不同的解決方案。

*實際解 (-1/2x+x = 1/2x) 的實際斜率 f(x)只是f(x)=1/2