程序和后置條件中帶有未知變量的 Hoare 三元組的有效性？

Question

我不確定x在這個 Hoare 三元組中的值： { a = 0 } while (x > a) do (x:= x − 1) { x = 0 } 。

關於如何證明這個 Hoare 三元組是否有效，我有 2 個潛在的想法：

• 假設x為 0，則 Hoare 三元組有效，或者
• 假設x是任意值，我們將其分解為案例並得出結論，霍爾三元組不適用於x的所有值

上述方法是否有效，或者我應該采取另一種方法嗎？

Answer 1

所以你有了

{a = 0}
while (x > a)
    x := x - 1
{x = 0}

讓我們嘗試使用循環不變式x ≥ a & a = 0並將其縮寫為I 。 當我們注釋程序時，我們得到：

{a = 0}
{I}              # Loop invariant should be true before the loop
while (x > a)
    {I & x > a}  # Loop invariant + condition holds
    x := x - 1
    {I}          # Loop invariant should be true after each iteration
{I & x ≤ a}      # Loop invariant + negation of loop condition
{x = 0}

現在我們需要將最弱的前提條件應用於x:= x - 1 ：

{a = 0}
{I}
while (x > a)
    {I & x > a}
    {x - 1 ≥ a & a = 0}  # I[x-1/x]
    x := x - 1
    {I}
{I & x ≤ a}
{x = 0}

我們最終有以下證明義務：

• (a = 0) ⇒ (x ≥ a & a = 0)成立，因為x ∈ ℕ
• (x ≥ a & a = 0) ⇒ (x - 1 > a & a = 0)成立。 證明微不足道。
• (x ≥ a & a = 0 & x ≤ a) ⇒ (x = 0)成立。 證明微不足道。

所以原來的霍爾三元組成立。