如何使用具有特定容差而不是位的 Boost 布倫特最小化算法？

Question

The documentation for the brent_find_minima function is at https://www.boost.org/doc/libs/1_76_0/libs/math/doc/html/math_toolkit/brent_minima.html

template <class F, class T>
std::pair<T, T> brent_find_minima(F f, T min, T max, int bits);

template <class F, class T>
std::pair<T, T> brent_find_minima(F f, T min, T max, int bits, boost::uintmax_t& max_iter);

但是，我對如何將位轉換為容差有點困惑。 例如，我有一些測量距離的目標 function

double distance(double x);

它測量一些由x參數化的值距離。 我想說我希望求解器將這個 function 的最小值返回到 0.1 的精度，這代表了我關心的精度。

如何將 0.1 轉換為位？

Answer 1

我不是這方面的專家，但是查看Boost 的 Brent minimization algorithm 的源代碼，看起來比特計數用於確定基於當前猜測大小的停止條件。 具體來說，停止條件由當前猜測 x 和當前 window 包含最小值的大小確定：

|x - 當前范圍中點| ≤ 2ε|x| + ε/2 - (電流范圍大小) / 2

在這里，ε 是從比特數（具體來說，它是 2 ^{1 - bits} ）導出的一個小數。 請注意，特別是，如果 |x| 變大，則 ε 需要變得越來越小，以便隨着當前范圍的大小減小，左側的邊界不會是一個很大的數字。

我不得不承認我還沒有在這里計算出完整的數學，但基於此，看起來你需要的位數將是寫出 integer 部分的位數答案，加上足夠的額外位來獲得一個在總數的 0.1 以內的值。 寫出 integer 部分答案的位數是 log ₂ n，要達到總數 0.1 以內的位數是 4 (1 / 2 ⁴ = 0.06)，所以我最好的猜測是你如果正確答案是 n，則需要log ₂ n + 4位。 要估計 n，請查看范圍的兩個端點並取絕對值較大的那個。

如果這不正確，請告訴我，我將刪除此答案。