找到這個涉及樓層函數的遞歸公式的時間復雜度 Big-Θ

Question

我試圖找到這個算法的時間復雜度（Big-Θ）：

Recursion(n):
   while n > 1:
      n = floor(n/2)
      Recursion(n)

通過考慮最壞的情況，即 n 是 2 的冪，我找到了 O(n) 的上限。

但是，我無法為此找到下限（Big-Ω）。 我的直覺是這也是 Ω(n)，但我不知道如何用地板函數來顯示它。

有什么建議？ 謝謝！

編輯：我不相信的主要事情是 T(n/2) 等價於 T(floor(n/2))。 對於這個算法，如何證明這一點？

Answer 1

floor函數在恆定時間O(1)執行其操作。 因此，您可以忽略它/將其視為常量。 下面我們來分析一下算法的時間復雜度：

T(n) = T(n/2) + 1 (floor operation)
T(n/2) = T(n/4) + 1
...
T(2) = T(1) + 1    --> T(1) = constant

T(n) = T(n/4) + 2
T(n) = T(n/8) + 3
...
T(n) = T(n/2^k) + k    2^k = n therefore k=log(n)
T(n) = T(1) + log(n)
T(n) = log(n)

我們可以得出結論T(n) ∈ θ(log(n)) 。