通過頻率計數方法，該算法的時間復雜度是多少？

Question

以下是代碼：

for (i = n-1; i>0; i--)
    for (j=0; j<i; j++)
      if (arr[i] < arr[i+1])
      {
          temp = arr[i];
          arr[i] = arr[i+1];
          arr[i+1] = temp;
      }

我可以找到外部 for 外部 for 循環將執行 n 次，內部 for 循環將執行 i+i-1+i-2+....+1 i(i+1)/2=(i^ 2+i)/2 和 if 條件將被檢查 (i-1)*i/2=(i^2-i)/2 次但我對 if 條件中的陳述感到困惑，如果我也糾正我我上面的計算也是錯誤的。

Answer 1

對於n =5， if語句執行時遇到的i和j的值可以列舉如下：

(4,0) (4,1) (4,2) (4,3)
(3,0) (3,1) (3,2)
(2,0) (2,1)
(1,0)

我特意安排了這樣的項目，因為它們形成了一個三角形。

####
###
##
#

為了計算這個三角形中有多少項，我們可以鏡像三角形並對每個項計數兩次。 根據您將鏡像項目放在右側還是下方，有兩種方法可以巧妙地做到這一點。

####o
###oo
##ooo
#oooo

####
###o
##oo
#ooo
oooo

無論哪種方式，通過檢查width 乘以 height ，都可以很容易地看出這是一個包含n * (n-1)或(n-1) * n項的矩形（兩種情況下的面積相等）。 並且由於我們對每個元素計算了兩次，因此我們可以除以二，並使用(n-1) * n / 2作為項目數的公式。

因此，您的if條件將精確計算(n-1) * n / 2次。

您還正確地將此表達式擴展為((n*n) - (n)) / 2 ，這也等於(n^2 - n) / 2 。

但有幾件事很糟糕......

你說(i-1)*i/2 ，使用i而不是n 。 那是不對的。

您的代碼似乎打算計算冒泡排序。 並且if條件及其塊的索引應始終為j （而不是i ）。 （您在內部循環中反復比較arr[i]和arr[i+1]的相同值i 。在這種情況下，對於給定的i值，實際交換最多會被評估一次，或者不在所有，取決於arr的值。）

您想要的代碼可能是：

for (i = n-1; i>0; i--)
    for (j=0; j<i; j++)
      if (arr[j] < arr[j+1])
      {
          temp = arr[j];
          arr[j] = arr[j+1];
          arr[j+1] = temp;
      }