為什么 function 組合在應用於采用多個 arguments 的函數時有效？

Question

我想我理解 function 應用程序在寫出這些步驟時是如何工作的，但是類型簽名算法並沒有在我的腦海中加起來。 為漫長的前奏道歉（沒有雙關語）。

舉一個具體的例子，這個來自Stefan Höck 的 Idris2 教程：

plusTwo : Integer -> Integer
plusTwo = (+2)

twice : (Integer -> Integer) -> Integer -> Integer
twice f n = f (f n)

在 REPL 中：

> twice plusTwo 3
7

> (twice . twice) plusTwo 3
11

我知道的

• Haskell 和 Idris 中的函數都是柯里化的，每個 function 只需要一個參數

• function 組合實現為

  f. g = \x -> f (gx)

• function 應用程序是左關聯的

• 類型簽名中的箭頭是右結合的

寫出(twice. twice) plusTwo 3

表達式可以顯式括起來為

((twice . twice) plusTwo) 3

可以重寫為

       ------f-------- -n-
(twice (twice plusTwo)) 3
             |
             V
------f-------- (------f-------- -n-)
(twice plusTwo) ((twice plusTwo)  3 )
                 \------------------/
                          |||
                  plusTwo (plusTwo 3)
                          |||
                           7                 
\-----------------------------------/
              |||
         twice plusTwo 7

看似類型簽名不匹配

下面的 function 組合運算符的類型簽名表明它采用單參數函數，

(.) :: (b -> c) -> (a -> b) -> a -> c
f . g = \x -> f (g x)

但是twice需要兩個 arguments （即(t -> t) -> t -> t ），所以這讓我失望。

我想當返回的 lambda 的參數x本身是 function 時，這是唯一可行的方法。 會不會這么簡單？

        twice        .          twice
((a -> a) -> a -> a) -> ((a -> a) -> a -> a) ->  ?

(---b---- -> --c---) -> (---a---- -> --b---) -> (a -> c)

? = (a -> a) -> a -> a

或者，換句話說， twice. twice twice. twice采用帶有簽名(a -> a) -> a的 function （這里a是Integer ）。

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如果上述內容是正確的，那么我可以找出 function 組合，其中參與函數具有不同的輸入 arguments（例如， twice. (+2) ）。

Answer 1

是的，這就是全部。 如果你寫twice的簽名可能會更容易思考

twice :: (Integer -> Integer) -> (Integer -> Integer)

如您所知，這與currying 是等價的。 這樣看來， twice是一個參數的 function，再次用twice組合它似乎非常明智。