Coq：目標只是一種類型（當使用帶有不必要參數的定理時）

Question

我在 Coq 中發現了一個奇怪的怪癖。 當你有一個帶有不必要的 arguments 的定理時，就會發生這種情況，我們使用這個定理進行rewrite 。 例如，考慮以下代碼片段。

Theorem foo : forall (k : nat) (x : bool), k=0+k.
Proof. reflexivity. Qed.

Theorem bar : forall (k : nat), 0+k=k.
Proof.
  intros k. rewrite foo. reflexivity.
  (* At this point, the goal is just "bool"! *)
Abort.

在此示例中， foo有一個冗余參數x 。 然后，當我在bar的證明中使用rewrite foo時，它會生成一個只讀為“ bool ”的目標。

我的第一個問題是：為什么會產生這樣一個目標？

其次，我發現這個目標可以使用assumption策略來完成。 但是，這並沒有真正說明目標是如何解決的。 還有什么其他策略可以用來完成這樣的目標？

Answer 1

目標bool在您應用rewrite foo. 戰術。 此時，您要求 Coq 找到表達式ek: nat和ex: bool ，以便foo ek ex的左側出現在目標中。 使用合一，Coq 推斷出ek:= k是一個合理的選擇，但它沒有獲得ex的任何信息，因為變量x沒有出現在foo的陪域中。 因此它創建了一個新目標，以便您作為用戶可以填充foo缺少的參數。

現在，由於該參數實際上未被使用，您可以通過多種方式實現該目標：您可以提供一個具體的 boolean exact true. 或exact false ，將其留給自動化constructor. 或使用您在上下文中擁有的任何 boolean （實際上我對假設的行為感到有點驚訝是您的上下文已關閉，如您的示例所示）。

您還可以在 Coq 使用rewrite (foo k true). 例如。

Answer 2

kyo 很好地回答了您的問題，但我記得對此感到困惑，所以這里有一些額外的背景信息：

在 Coq 中，說X成立（例如，它是一個目標，現在它被證明了）等同於說存在一個X類型的項（即， X是有人居住的）。 當X恰好是一個邏輯公式時（即當X: Prop時），我們希望找到它作為目標並使用策略來證明它。 當X碰巧是其他任何東西時（例如， bool ），我們希望找到它作為一個術語並在定義中使用它。 但是，沒有什么能阻止您在定義中使用邏輯公式（通常導致依賴類型），通過顯式提供證明而不是使用策略（例如eq_refl: 0 = 0 ）來證明邏輯公式，或者證明bool是有人居住的使用戰術。

這種區別仍然有用，因為我們通常不關心使用哪個證明來證明給定的定理，但我們經常關心我們手中有哪個bool類型的術語（盡管不是在你的例子中）。