在 Java 中計算大型數據集的主軸/特征值和-向量

Question

我有一個大型數據集（>500.000 個元素），其中包含 FEM 元素的應力值（σ_xx、σ_yy、σ_zz、τ_xy、τ_yz、τ_xz）。 這些應力值在 model 的全局 xyz 坐標空間中給出。我想從中計算主軸應力值和方向。 如果您不太熟悉其背后的物理原理，這意味着采用對稱矩陣

| σ_xx τ_xy τ_xz |
| τ_xy σ_yy τ_yz |
| τ_xz τ_yz σ_zz |

並計算其特征值和特征向量。 單獨計算每組特征值和 -vectors 太慢了。 我正在 Java 中尋找一個庫、一種算法或其他東西，它們可以讓我將此作為數組計算來執行。 例如，在 python/numpy 中，我可以將我所有的 3x3 矩陣，沿三維堆疊它們以獲得 nx3x3 數組，並將其傳遞給 np.linalg.eig(arr)，它會自動給我一個三個特征值的 nx3 數組和三個特征向量的 nx3x3 數組。

我嘗試過的事情：

• nd4j 有一個用於計算特征值和特征向量的特征模塊，但一次只支持一個方形數組。
• 計算特征多項式並使用 cardanos 公式獲取根/特征值 - 可以一次對整個數組執行此操作，但我現在被困在如何獲取相應的特征向量上。 是否有從這些到特征向量的通用簡單算法？
• 尋找可以直接計算的特征值和-向量的分析形式：它確實存在，但沒有。

Answer 1

您需要編寫一些代碼。

我將創建或使用Matrix class 作為依賴項，並找到為您提供特征值和特征向量的方法。 您在nd4j中找到的那些聽起來很不錯。 您還可以考慮Linear Algebra For Java (LA4J) 依賴項。

將數據集加載到List<Matrix>中。

使用功能 Java 方法應用 map 為您提供特征值List作為每個應力矩陣的向量和特征向量List作為每個應力矩陣的矩陣。

您可以通過將 map function 應用到 stream 來最大程度地優化此計算。Java 將在幕后並行計算以最大程度地利用可用內核。

Answer 2

后續：這是最適合我的方式，因為我可以在不遍歷每個元素的情況下完成所有操作。 如上所述，我使用的是 Nd4j，與 numpy 相比，它的可能性似乎有限（或者我可能只是沒有充分閱讀文檔）。 以下方法僅使用基本數組操作：

1. 根據給定的壓力值，使用 Cardano 公式計算特征值。 只需要元素明智的指令來做到這一點（add、sub、mul、div、pow）。 結果應該是三個大小為 n 的向量，每個向量包含所有元素的一個特征值。

2. 使用此處給出的公式計算每個特征值的矩陣 S。 與步驟 1 一樣，這顯然也可以僅使用具有應力值和特征值向量的逐元素操作來完成，以避免指定一些復雜的指令，說明根據哪個軸乘以哪個數組，同時保持任何其他軸。

3. 從 S 中取出一列並將其歸一化以獲得給定特征值的歸一化特征向量。

請注意，此方法僅在您具有實數對稱矩陣時才有效。 您還應該確保正確處理相同特征值多次出現的情況。