令 X,Y,Z,W 為向量頻率為 $(x,y,z,w)$ 的詞，找到最優編碼

Question

令 X,Y,Z,W 為向量頻率為 (x,y,z,w) 的詞，使得 .

找到關於 x,y,z,w 的某些要求，使得 W=00,Z=01,Y=10,X=11 是最優代碼。

我的解決方案：

使用霍夫曼編碼，我認為解決方案是需求

樹是：

在這種情況下 下一棵樹是適當的樹：

因此最佳編碼為 W=0,Z=10,Y=110,X=111。

這兩種情況的最佳代碼是否正確？

謝謝 ！

Answer 1

正如此處對答案的評論中所述，特別是您需要 w ≤ x + y 才能使頂部前綴代碼達到最佳狀態。 （符號“z, w ≤ x + y”沒有公認的含義，z 無論如何都無關緊要，因為它與 w、x 和 y 的關系已經給出。）在 w = x + y 的情況下，那么您顯示的兩個前綴代碼都是最佳的，並且正確實施的霍夫曼算法可以產生任何一個。 如果 w > x + y，則第二個代碼是最優的。

另一個沒有給出但應該給出的條件是 x > 0。如果 x = 0 但 y > 0，則根本不會對 x 進行編碼，樹中將有三個符號而不是四個。

您顯示的樹是四個符號僅有的兩種可能的前綴代碼拓撲。

Answer 2

你的解決方案是正確的，你可以證明它如下。 首先，論證通過要求 z 和 w 都不大於 x + y，您可以獲得看起來像建議的最佳代碼； 然后，爭辯說，如果 z 或 w 大於 x + y，則無論如何都無法獲得顯示的代碼。

正如您清楚地指出的那樣，當 z 和 w 不大於 x + y 時，您可以獲得平衡的二叉樹，其中符號的代碼長度為 2。 將標簽分配給邊緣會給出所示的代碼。

類似地，如果 z 或 w 大於 x + y，則 Huffman 將在到達根之前將節點或 x + y 與其他節點組合； 這意味着從根到某些葉子的路徑長度至少為 3，因此通過重新標記邊緣獲得的任何代碼都將具有一些長度至少為 3 的代碼字。 這看起來不像所提供的代碼，其代碼字的長度都是相等的 2。