令 X,Y,Z,W 为向量频率为 $(x,y,z,w)$ 的词，找到最优编码

Question

令 X,Y,Z,W 为向量频率为 (x,y,z,w) 的词，使得 .

找到关于 x,y,z,w 的某些要求，使得 W=00,Z=01,Y=10,X=11 是最优代码。

我的解决方案：

使用霍夫曼编码，我认为解决方案是需求

树是：

在这种情况下 下一棵树是适当的树：

因此最佳编码为 W=0,Z=10,Y=110,X=111。

这两种情况的最佳代码是否正确？

谢谢 ！

Answer 1

正如此处对答案的评论中所述，特别是您需要 w ≤ x + y 才能使顶部前缀代码达到最佳状态。 （符号“z, w ≤ x + y”没有公认的含义，z 无论如何都无关紧要，因为它与 w、x 和 y 的关系已经给出。）在 w = x + y 的情况下，那么您显示的两个前缀代码都是最佳的，并且正确实施的霍夫曼算法可以产生任何一个。 如果 w > x + y，则第二个代码是最优的。

另一个没有给出但应该给出的条件是 x > 0。如果 x = 0 但 y > 0，则根本不会对 x 进行编码，树中将有三个符号而不是四个。

您显示的树是四个符号仅有的两种可能的前缀代码拓扑。

Answer 2

你的解决方案是正确的，你可以证明它如下。 首先，论证通过要求 z 和 w 都不大于 x + y，您可以获得看起来像建议的最佳代码； 然后，争辩说，如果 z 或 w 大于 x + y，则无论如何都无法获得显示的代码。

正如您清楚地指出的那样，当 z 和 w 不大于 x + y 时，您可以获得平衡的二叉树，其中符号的代码长度为 2。 将标签分配给边缘会给出所示的代码。

类似地，如果 z 或 w 大于 x + y，则 Huffman 将在到达根之前将节点或 x + y 与其他节点组合； 这意味着从根到某些叶子的路径长度至少为 3，因此通过重新标记边缘获得的任何代码都将具有一些长度至少为 3 的代码字。 这看起来不像所提供的代码，其代码字的长度都是相等的 2。