努力尋找冪循環不變性 function

Question

我正在努力為以下 function 找到一個好的循環不變式，它返回 a^b，其中 a 是實數，b 是自然數：

power <- function(a, b){
     c <- 1
     while(b > 0){
          if(b %% 2 == 1){
               c <- c * a
          }
          b <- floor(b / 2)
          a <- a * a
     }
     return c
}

我已經用幾個例子遍歷了循環，我看到它有兩種情況； 當 b 為偶數或奇數時。 我也明白在第 k 次迭代中，a = a_0^(2^k)，但我正在努力尋找合適的不變量，因為沒有真正的迭代變量可供使用。

Answer 1

為了使不變量有用，它必須有c = a_0^b_0作為 while 循環終止后的特例，這發生在b = 0時。

為了使不變量為真，我們必須在第一次迭代之前在左側獲得a_0^b_0 。 我們已經知道左側有一個c ，並且在第一次迭代之前c = 1 ，所以乘法似乎是個好主意。

無論我們乘以什么，都必須在循環終止后最終為 1，這（和以前一樣）發生在b = 0時。 當b為 0 時使某個值等於 1 表明我們希望b是一個指數，而左側所需的a_0^b_0也表明b應該是一個指數。

將這些放在一起，不變量將是c * a_0^b = a_0^b_0或c * a^b = a_0^b_0 。 我將留給您來確定其中哪一個是正確的，並證明它實際上是不變的。