如果給出了語言定義，如何生成無限制語法

Question

如何構造生成 L = {a^ib^jc^k^d^l: i not equal to k AND j not equal to l} 的無限制文法。

a 是 i 的冪，'b' 是 j 的冪，'c' 是 k 的冪，'d' 是 l 的冪。

我對常規和 CFG 很好，但由於不受限制的語法可以在生產的左側包含多個非終端，我很困惑並且無法找到解決方案。

Answer 1

我不會嘗試最有效或最優雅的語法，而是嘗試一種簡單的語法——我們可以很快看到的語法一定是正確的。

你的語言 L = {a^ib^jc^k^d^l: i not equal to k AND j not equal to l} 可以寫成四種語言 L1、L2、L3 和 L4 的並集：

• L1 = {a^ib^jc^k^d^l: i < k AND j < l}
• L2 = {a^ib^jc^k^d^l: i < k AND j > l}
• L3 = {a^ib^jc^k^d^l: i > k AND j < l}
• L4 = {a^ib^jc^k^d^l: i > k AND j > l}

每一種情況都有一些不受限制的文法，稱為文法 G1、G2、G3、G4。 然后，我們的文法 G 可以有一個起始非終結符，它產生這四個文法中每一個的起始非終結符，並且它將生成這些文法的語言的並集。 因此，如果我們能找到 G1 - G4，我們的問題就解決了。 很容易看出，這些文法中的每一個都非常相似，不同之處僅在於哪些符號的出現頻率低於其他符號。 我們將專注於嘗試找到 G1，並將 G2、G3 和 G4 留作練習。

我們對 G1 的策略如下：分別為 i < k 的 a^ic^k 和 j < l 的 b^jd^l 編寫語法； 然后，合並它們並對 b 和 c 重新排序，以便所有內容都按正確的順序排列。 所以，對於第一部分：

S1 := X1 Y1
X1 := A1 X1 C1 | X1 C1 | C1
Y1 := B1 Y1 D1 | Y1 D1 | D1
A1 := a
B1 := b
C1 := c
D1 := d

這給了我們像 a^ic^kb^jd^l 這樣的字符串，其中 i < k 和 j < l。 這非常接近我們想要的，但我們需要交換 c 和 b。 為此，我們可以使用一個特殊的新非終結符，它的唯一功能是允許 A1、B1、C1 和 D1 解析為 a、b、c 和 d，但前提是它們的順序正確。 為此，我們將添加一個產生式 C1 B1:= B1 C1，這將允許語法將 B 和 C 冒泡到正確的位置。 我們可以調用我們的特殊標記 M1：

// ensure i < k and j < l
S1 := X1 Y1 M1'
X1 := A1 X1 C1 | X1 C1 | C1
Y1 := B1 Y1 D1 | Y1 D1 | D1

// allow b's to come before c's
C1 B1 := B1 C1

// require d's come last, c's come before d's,
// b's come before c's and d's, and a's come
// before everything
D1 M1' := M1 d
D1 M1 d := M1 dd
C1 M1 d := M1 cd
C1 M1 c := M1 cc
B1 M1 d := M1 bd
B1 M1 c := M1 bc
B1 M1 b := M1 bb
A1 M1 d := M1 ad
A1 M1 c := M1 ac
A1 M1 b := M1 ab
A1 M1 a := M1 aa

// allow the derivation to terminate nondeterministically
// only by terminating after removing all nonterminals
// will the resulting derivation be in the grammar's language
M1 := (empty)

讓我們做幾個簡單的例子來說明 abccdd 在語言中，而 aabccdd 和 accbdd 不是：

S1 := X1 Y1 M1'
   := A1 X1 C1 Y1 M1'
   := A1 C1 C1 Y1 M1'
   := A1 C1 C1 B1 Y1 D1 M1'
   := A1 C1 C1 B1 D1 D1 M1'
   := A1 C1 B1 C1 D1 D1 M1'
   := A1 B1 C1 C1 D1 D1 M1'
   := A1 B1 C1 C1 D1 M1 d
   := A1 B1 C1 C1 M1 dd
   := A1 B1 C1 M1 cdd
   := A1 B1 M1 ccdd
   := A1 M1 bccdd
   := M1 abccdd
   := abccdd

S1 := X1 Y1 M1'
   := A1 X1 C1 Y1 M1'
   := A1 A1 X1 C1 C1 Y1 M1'
   ... unable to proceed, cannot get rid of X1 without adding more c's

S1 := X1 Y1 M1'
   := A1 X1 C1 Y1 M1'
   := A1 C1 C1 Y1 M1'
   := A1 C1 C1 B1 Y1 D1 M1'
   := A1 C1 C1 B1 D1 D1 M1'
   := A1 C1 C1 B1 D1 M1 d
   := A1 C1 C1 B1 M1 dd
   := A1 C1 C1 M1 bdd
   ... no production matches C1 M1 b, no way to clear C1 now

請注意，我在第一步中引入了特殊標記 M'，不確定是否真的有必要，但您可以玩一下。