“作為小偷偷走最少數量的物品”問題

Question

我的一位教授問過這個問題；

Imagine a thief entering a house. In the house, there are infinitely many items
that can have only one of three different weights: 1 kg, 3 kgs, and 5 kgs. All of the items are 
discrete. The thief has a bag capacity of n kgs and strangely, he wants to steal the “smallest 
number of items”.

他希望我們： Show that the greedy choice of taking the largest weight items into the bag first fails to lead to an optimal solution 。 但我聲稱貪婪並不是失敗。 在任何情況下，攜帶多達 5 公斤的物品都會導致物品數量最少，這是最佳的。 他錯了嗎？ 我認為貪心是最優的。 有貪心失敗的情況嗎？

順便說一句，我的解決方案：

public int stealRecursive(int bagCapacity) {
        return stealRecursive(bagCapacity, 0);
    }

private int stealRecursive(int bagCapacity, int numberOfItemsStolen) {

    boolean canSteal5kg = bagCapacity - 5 >= 0;
    boolean canSteal3kg = bagCapacity - 3 >= 0;
    boolean canSteal1kg = bagCapacity - 1 >= 0;

    if (canSteal5kg) {
        return stealRecursive(bagCapacity - 5, numberOfItemsStolen + 1);
    }

    if (canSteal3kg) {
        return stealRecursive(bagCapacity - 3, numberOfItemsStolen + 1);
    }

    if (canSteal1kg) {
        return stealRecursive(bagCapacity - 1, numberOfItemsStolen + 1);
    }

    return numberOfItemsStolen;
}

你們中的一些人說放代碼並沒有指向任何地方，你是對的，我只是把它放出來展示我的努力和思維方式。 因為每當我提出問題而不輸入代碼時，我都會被警告先展示我的努力，因為這不是家庭作業網站。 這就是為什么我把我的代碼。 抱歉混淆。

Answer 1

首先，假設你已經“拿走了”盡可能多的 5k 件物品，所以你最終得到

m = capacity mod 5

要偷的物品，你已經偷了 5n 公斤。

案例

米==0

5n

在這種情況下，你有 n 件物品，如果你偷了 1k 或 3k 件物品，那么情況會更糟（除了 n = 0，在這種情況下，無論你偷 0 件 5 公斤的物品，0 件物品都沒有關系3 公斤或 0 件 1 公斤）

米 == 1

5n + 1

在這種情況下，你偷了 n 件 5 公斤的物品，你還偷了一件 1 公斤的物品。

在capacity=6的情況下，可以偷5+1公斤或者3+3公斤，結果是一樣的，但是n越大，貪心法的優勢越大。

米 == 2

我們有 5n + 1 + 1

在 capacity = 7 的情況下，我們有 5 + 1 + 1 vs 3 + 3 + 1，但一般來說，貪婪在這里也更好。

米 == 3

5n + 3

這比 5n + 1 + 1 + 1 好得多

米==4

5n + 3 + 1

在 9 的情況下，我們有 5 + 3 + 1 vs 3 + 3 + 3，但一般來說，貪心更好

結論

一般來說，貪婪更好，但在某些情況下會出現平局。 原因是有無數的物品可以被盜。 如果分別有 5 公斤、3 公斤和 1 公斤的有限物品，那么我們可以想象這樣的場景

5k 項：1 3k 項：3 1k 項：0

容量：9

現在，如果你拿走 5k 物品，那么你最終會得到 8 的戰利品，而不是 9 的戰利品。但是我們有無限的 5k、3k 和 1k 物品，所以這不是真實的場景。